ΔΑΣΚΑΛΑΚΗΣ
Κωνσταντίνος Δασκαλάκης: ο 28χρονος έλληνας που έλυσε τον γρίφο του νομπελίστα Τζον Νας.
Είναι μόλις 28 ετών κι όμως το βιογραφικό του είναι πλούσιο σε επαγγελματική και ακαδημαϊκή εμπειρία. Απόφοιτος του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου, με βαθμό 9,98 στα 10, με μεταπτυχιακές και διδακτορικές σπουδές στο Πανεπιστήμιο του Μπέρκλεϊ, ο Κωνσταντίνος Δασκαλάκης θεωρείται, σύμφωνα με Τα Νέα (11.06.2009),. ένα από τα πιο λαμπρά μυαλά διεθνώς. Μάλιστα σε περίπου έναν μήνα θα μπει στις αίθουσες του Πανεπιστημίου ΜΙΤ της Βοστώνης για να διδάξει.
Πριν από μερικές εβδομάδες ο Κωνσταντίνος κατάφερε να ξεδιαλύνει έναν δύσκολο γρίφο της πληροφορικής, που έμενε άλυτος από το 1950. Το αντικείμενο με το οποίο ασχολείται, όπως παραδέχεται, είναι αρκετά δύσκολο για τον περισσότερο κόσμο. Η διδακτορική του διατριβή μελετά το Θεώρημα του Νας, στη θεωρία των παιγνίων, θεώρημα για το οποίο το 1994 ο Νας κέρδισε το Νόμπελ Οικονομίας.
«Την επιστήμη μου την ενδιαφέρει κυρίως το Ίντερνετ. Πρόκειται για ένα μέσο που χρησιμοποιείται από εκατομμύρια χρήστες και ελέγχεται από διάφορες εταιρείες, οργανισμούς και κράτη. Όλοι όμως έχουν διαφορετικά συμφέροντα, που μερικές φορές επηρεάζουν την ελεύθερη κίνηση της πληροφορίας. Έτσι, αυτό που καλούμαστε να κάνουμε είναι να σχεδιάσουμε ένα ‘γερό’ Ίντερνετ, όπου η πληροφορία θα ταξιδεύει όσο πιο γρήγορα γίνεται με ασφάλεια, ενώ παράλληλα θα προστατεύεται η ελευθερία του λόγου», λέει στην εφημερίδα ο 28χρονος επιστήμονας.
Στην ερώτηση αν σκοπεύει να αφήσει την ακαδημαϊκή καριέρα στη Βοστώνη για να επιστρέψει στην Ελλάδα, απαντά αρνητικά. «Το αντικείμενό μου είναι τέτοιο που φοβάμαι ότι αν ερχόμουν στην Ελλάδα δεν θα μπορούσα να συνεχίσω τις έρευνές μου. Το πιο πιθανό είναι ότι δεν θα υπήρχαν οι κατάλληλες συνθήκες, ενδεχομένως ούτε η απαραίτητη υποστήριξη στο ερευνητικό μου έργο. Φοβάμαι ότι μπορεί να χαθώ στην ελληνική γραφειοκρατία» λέει. Αυτό που του αρέσει ιδιαίτερα στη Βοστώνη είναι ότι είναι ένας τεράστιος ακαδημαϊκός χώρος. «Ο μισός πληθυσμός της πόλης έχει σχέση με τον πανεπιστημιακό κόσμο». Αν και η επιστροφή στην Ελλάδα δεν είναι στα άμεσα σχέδιά του, όπως τονίζει, «θέλω να δώσω πίσω στην Ελλάδα, γιατί κι αυτή μου έδωσε τις βάσεις για να φτάσω ώς εδώ. Έρχομαι στην Ελλάδα δύο φορές το χρόνο για περίπου δύο μήνες. Σίγουρα στην καθημερινότητά μου υπάρχουν στιγμές που μου λείπει η οικογένειά μου και το σπιτικό φαγητό».
Πριν από μερικές εβδομάδες, ο 28χρονος Κωνσταντίνος Δασκαλάκης τράβηξε τα βλέμματα της διεθνούς ακαδημαϊκής κοινότητας- και όχι μόνο- πάνω του καθώς βραβεύθηκε από τον διεθνή οργανισμό ΑCΜ (Αssociation for Computing Μachinery), την Ένωση δηλαδή όλων όσων ασχολούνται με την πληροφορική, η οποία δίνει ένα βραβείο για την καλύτερη διδακτορική διατριβή κάθε χρόνο. Αφετηρία ήταν ο γρίφος που παρέμενε άλυτος από την εποχή που ο Τζον Νας διατύπωσε το θεώρημα για τη θεωρία των παιγνίων. Ο Αμερικανός επιστήμονας τη δεκαετία του ΄50 έφτιαξε ένα απλοποιημένο σύστημα των σχέσεων και των ενεργειών κάποιων ανθρώπων που βρίσκονταν σε καταστάσεις με διαφορετικά συμφέροντα, όπως το να είναι αντίπαλοι σε ένα παιχνίδι. «Κι έδειξε ότι σε κάθε αγορά, ακόμη κι όταν υπάρχουν αντικρουόμενα συμφέροντα, υπάρχει τρόπος να βρεθεί η ισορροπία». Μετά τη διατύπωση της θεωρίας του Νας- η οποία δεν βρίσκει εφαρμογή μόνο στα παιχνίδια αλλά και στην αγορά ή το Ίντερνετ- ξεκίνησαν πολλοί επιστήμονες να ψάχνουν με ποιον τρόπο μπορεί κανείς να προβλέψει την ισορροπία Νας, όπως για παράδειγμα τι θα γίνει στην αγορά ή το να προβλέψει κανείς ποιος θα κερδίσει στο σκάκι ή ποια στρατηγική είναι καλύτερη στο πόκερ. Όπως επισημαίνει ο Κωνσταντίνος, πέρασαν πέντε δεκαετίες χωρίς κανένα αποτέλεσμα.
Έναν χρόνο χρειάστηκε ο νεαρός επιστήμονας με τους καθηγητές του, Χρίστο Παπαδημητρίου από το Πανεπιστήμιο του Μπέρκλεϊ και τον καθηγητή Πολ Γκόλντμπεργκ του Πανεπιστημίου του Λίβερπουλ, μέχρι τελικά να βρουν τη λύση στον γρίφο. Όπως λέει ο 28χρονος, οι μέχρι τότε προσπάθειες ουσιαστικά στρέφονταν προς λάθος κατεύθυνση. Η έρευνά τους έδειξε ότι η ισορροπία αυτή, σε ορισμένες περιπτώσεις, είναι υπολογιστικά αδύνατη. «Ουσιαστικά αποδείξαμε ότι δεν υπάρχει τρόπος για να προβλεφθεί η ισορροπία. Μπορεί να χρειάστηκε έναν χρόνο να δουλέψουμε σκληρά, ωστόσο το ερώτημα αυτό μας βασάνιζε περισσότερο καιρό. Είναι πάντως μεγάλη τιμή για έναν νέο επιστήμονα να βραβεύεται από τον διεθνή αυτό οργανισμό. Ανάμεσα σε χιλιάδες διατριβές από τα πανεπιστήμια του κόσμου, επιλέχθηκε η δική μου».
ΥΠΟΘΕΣΗ ΡΙΜΑΝ
Η εμμονή με τους Πρώτους Αριθμούς
Βερολίνο, Αύγουστος 1859: ο Μπέρνχαρντ Ρίμαν γίνεται
αντεπιστέλλον μέλος της Ακαδημίας - εξαιρετική τιμή για έναν
τόσο νέο και άσημο μαθηματικό, μόλις 32 ετών. Όπως συνηθιζόταν
σε τέτοιες περιπτώσεις, ο Ρίμαν υπέβαλε στην
Ακαδημία μια εργασία με την οποία διερευνούσε το φλέγον μαθηματικό
πρόβλημα της εποχής, «σχετικά με το πλήθος των Πρώτων Αριθμών
που είναι μικρότεροι από κάποιον δεδομένο αριθμό».
Μέσα στο άρθρο, ο Ρίμαν διερευνούσε ένα γνωστό πρόβλημα της
κλασικής αριθμητικής. Για να καταλάβουμε το πρόβλημα ας αναρωτηθούμε:
Πόσοι πρώτοι αριθμοί υπάρχουν, μικρότεροι από το 20; Η απάντηση είναι
οκτώ: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 και 19. Πόσοι μικρότεροι από το χίλια; Από το
ένα εκατομμύριο; Από το ένα δισεκατομμύριο; Υπάρχει κάποιος γενικός
τύπος που να μας δίνει το πλήθος των πρώτων αριθμών που είναι μικρότεροι
από ένα δοσμένο αριθμό χωρίς να χρειάζεται να τους μετρήσουμε;
Στην εργασία του, περιέλαβε μια συμπτωματική αλλά πολύ κρίσιμη εικασία -
μια Υπόθεση. Δήλωσε ότι είναι πέρα για πέρα αληθινή και, μάλιστα,
ότι μέσα από την Υπόθεσή του προκύπτει ο γενικός τύπος παραγωγής
Πρώτων Αριθμών.
Ο Ρίμαν προσέγγισε το πρόβλημα μέσα από τα πιο
προχωρημένα μαθηματικά
της εποχής του. Δήλωνε με πείσμα ότι η «Υπόθεσή»
του επιλύει το πρόβλημα
και ότι είναι πέρα για πέρα αληθινή, όμως, λίγο
αργότερα πέθανε. Αμέσως μετά
το θάνατό του, η σπιτονοικοκυρά του έκαψε όλα
τα προσωπικά χαρτιά του και μέχρι σήμερα, κανείς δεν
έμαθε αν ο Ρίμαν είχε όντως ανακαλύψει την απόδειξη.
Στην προσπάθειά του να επιλύσει τον γρίφο των Πρώτων Αριθμών, ο Ρίμαν
διέκρινε κάτι μυστηριώδες που έκρυβε μια ασύλληπτη μαθηματική ομορφιά:
οι Πρώτοι Αριθμοί κατανέμονταν ομοιόμορφα -με ανεπαίσθητες αποκλίσεις-
σε ένα τρισδιάστατο σύμπαν αριθμών. Εκθαμβωτική στη διαύγειά της και
καταπληκτική στις δυνητικές εφαρμογές της, η Υπόθεση του Ρίμαν απέκτησε
τεράστια σημασία για τα Μαθηματικά. Η απόδειξη ή η απόρριψή της αποτελεί
μέχρι σήμερα την ύψιστη πρόκληση για τους μαθηματικούς όλου του κόσμου.
Ο Ρίμαν κατόρθωσε να «δει» πέρα από τον γενικό τύπο παραγωγής πρώτων
αριθμών -μπόρεσε να διακρίνει τα ίχνη κάτι μυστηριώδους και μαθηματικώς
κομψού -ανεπαίσθητες αποκλίσεις στην κατανομή των πρώτων αριθμών.
Εκθαμβωτική στη διαύγειά της και καταπληκτική στις δυνητικές εφαρμογές
της, η Υπόθεση Ρίμαν απόκτησε τεράστια σημασία για τα μαθηματικά.
Η απόδειξη ή η απόρριψή της έγινε η πρόκληση των αιώνων.
Οι σημαντικότερες ιδιοφυΐες του πλανήτη μας έχουν συνειδητοποιήσει ότι
η επίλυσή της είναι το κλειδί για τις σύγχρονες μαθηματικές και ευρύτερα
επιστημονικές ανησυχίες μας. Από τη σύγχρονη κρυπτογραφία,
τους πανταχού παρόντες κωδικούς ασφαλείας, μέχρι τη φυσική
των ατομικών πυρήνων, η εξάρτηση από τις ιδιότητες των
πρώτων αριθμών είναι δεδομένη και συνυφασμένη με την
απόδειξη της Υπόθεσης Ρίμαν.
Ολόκληρος ο εικοστός αιώνας χαρακτηρίστηκε από τη μονομανία των
μαθηματικών να αποδείξουν την Εικασία του Γερμανού μαθηματικού.
Σήμερα η Υπόθεση του Ρίμαν,είναι η μεγάλη λευκή φάλαινα,
το πιο περιζήτητο θήραμα της μαθηματικής έρευνας.
Αυτός ο παράξενος, εσωστρεφής χαρακτήρας πήρε τη σκυτάλη
από τον Γκάους και διέκρινε ότι μπορούσε να χρησιμοποιήσει τη
συνάρτηση Ζ για να δημιουργήσει ένα τρισδιάστατο, μαθηματικό τοπίο.
Σαν μαγικός καθρέφτης, η συνάρτηση τον
πήρε από το σύμπαν των αριθμών και τον μετέφερε στον κόσμο
της γεωμετρίας.
Ο Ρίμαν κοίταξε τον καθρέφτη, πήρε μια ανάσα και πέρασε στο
εσωτερικό του.
Ποιος θα το φανταζόταν! Η συνάρτηση Ζ συνδεόταν με τους
πρώτους. Ο Ρίμαν
ανακάλυψε έναν θησαυρό αμύθητης αξίας...
Ο μαθηματικός
Ο Δημήτρης Χριστοδούλου μιλάει στον ΘΑΝΑΣΗ ΛΑΛΑ
ΔΗΜΟΣΙΕΥΣΗ: 28/02/1999, 00:00
Σκέφτηκα πολύ αυτή την εβδομάδα τι συνέντευξη θα ήταν καλό να βάλουμε στο «Αλλο Βήμα». Μέσα σ' αυτή την ατμόσφαιρα της ντροπής που σκιάζει τη χώρα μας τις τελευταίες ημέρες, θα ήταν δύσκολο να βρει κανείς ένα πρόσωπο που να αποσπάσει το ενδιαφέρον των αναγνωστών από τα τελευταία γεγονότα. Σαν φως άστραψε μπροστά μου και φώτισε το αδιέξοδό μου το όνομα ενός μεγάλου Ελληνα που ζει και εργάζεται στις ΗΠΑ αλλά δεν είναι τόσο γνωστός όσο ο κ. Πάγκαλος, ο κ. Σημίτης ή ο κ. Καραμανλής! Ο πιο ιδιοφυής μαθηματικός σήμερα είναι Ελληνας, τιμήθηκε πρόσφατα με το μαθηματικό βραβείο Βôcher, που θεωρείται σε σημασία αντίστοιχο του Νομπέλ! Ο κ. Δημήτρης Χριστοδούλου σε μια περίοδο ντροπής ίσως είναι ο καταλληλότερος να μας ανεβάσει το ηθικό, να μας κάνει να νιώσουμε και λίγο υπερήφανοι που είμαστε Ελληνες! Προσοχή, δεν είναι ο μόνος, απλώς μέσα στη συνάφεια, ό,τι σημαντικό αυτού του τόπου έχει σκεπαστεί από τη συνωμοσία των μετρίων! Τη συνομιλία μας αυτή την απόλαυσα ιδιαιτέρως ομολογώ. Την απόλαυσα κυρίως γιατί είχε να κάνει με τα μαθηματικά. Μάλλον με τη ζωή μας είχε να κάνει, αλλά ό,τι λέγαμε ξεκινούσε από τα μαθηματικά. Την απόλαυσα επίσης γιατί πρώτη φορά μού έτυχε να βρεθώ απέναντι σε μια ιδιοφυΐα. Ολα τα ερωτήματα τα απαντούσε ο κ. Χριστοδούλου ξεκινώντας από μια απρόσμενη θέση. Ηταν, σας λέω, δύο ώρες υπέροχες στου Zonar's, με καφέ και πορτοκαλάδες. Γύρισα πίσω στην εφηβεία μου, τότε που λύναμε με τους φίλους τις ασκήσεις των Ιησουιτών και νιώθαμε τη συγκίνηση του «Εύρηκα! Εύρηκα!». Θα μου επιτρέψετε, τέλος, να αφιερώσω αυτή τη συνέντευξή μου στους θρυλικούς μαθηματικούς που με μύησαν σ' αυτό τον μαγικό κόσμο, στον Γκόνο και τον κ. Πανταζάτο! Καλή ανάγνωση!
Οταν είστε μαζί με άλλους επιστήμονες της ειδικότητάς σας, τι συζητάτε;
«Ορισμένες φορές συζητάμε και απλά καθημερινά πράγματα. Οταν λέτε επιστήμονες, τι εννοείτε;».
Επιστήμονες, ερευνητές... τι να εννοώ; Εσείς τι εννοείτε όταν λέτε επιστήμονες;
«Υπάρχουν επιστήμονες και επιστήμονες... Ανάλογα με το τι επιστήμονες συζητούν μεταξύ τους, η συζήτηση αλλάζει... Αλλα πράγματα κυριαρχούν σε μια συζήτηση μαθηματικών και άλλα σε μια συζήτηση βιολόγων ή φυσικών... Οι μαθηματικοί, για παράδειγμα, όταν συζητάμε μεταξύ μας, έχουμε μια αίσθηση μια μανία, θα έλεγα αξιοκρατίας. Μας ενδιαφέρει πολύ το ποια είναι η ιεραρχία, ακόμη και ανάμεσα στους παλιότερους. Δηλαδή μπορεί πολλές φορές σε συζητήσεις να τεθεί, ας πούμε, το θέμα: "Ποιος ήταν πιο σημαντικός; Ο Οϊλερ ή ο Γκάους;". Τέτοια πράγματα μας απασχολούν... Μπορεί ώρες να μιλάμε και να διαφωνούμε, προκειμένου να βάλουμε τα ονόματα στη σωστή αξιολογικά σειρά».
Μια που το αναφέρατε... εσείς τι ψηφίζετε σε αυτές τις συζητήσεις: Γκάους ή Οϊλερ;
«Δεν έχει και τόσο σημασία... (γέλια) Ξέρετε, πάντα σε αυτές τις περιπτώσεις οι γνώμες διχάζονται... Αλλοι λένε ο Οϊλερ, άλλοι λένε ο Γκάους».
Σε ποια περίπτωση δεν υπάρχει διχογνωμία; Υπάρχει ένα όνομα που είναι ευρύτερα αποδεκτό;
«Εκεί όμως που όλοι συμφωνούν είναι ότι ο μεγαλύτερος σε αξία όλων είναι ο Αρχιμήδης. Προσωπικώς πάντως ανάμεσα σε Γκάους και Οϊλερ ψηφίζω Οϊλερ... Είμαι οϊλερικός δηλαδή». (γέλια)
Γιατί θεωρείτε τον Οϊλερ πιο σημαντικό από τον Γκάους;
«Βασικά έχει ασχοληθεί με πάρα πολλά πράγματα. Μπορεί οι αποδείξεις του να μην ήταν τόσο αυστηρές όσο ήταν του Γκάους, αλλά έχει ασχοληθεί με περισσότερα ζητήματα και ειδικά με τις διαφορικές εξισώσεις που είναι και το δικό μου πεδίο. Επίσης είναι αυτός που έγραψε τους νόμους της υδροδυναμικής, αντικείμενο που είναι στο πρόγραμμά μου για το εγγύς μέλλον. Εχω κάνει ήδη κάποιες εργασίες στον τομέα της υδροδυναμικής, αλλά σκοπεύω να ασχοληθώ ακόμη περισσότερο στο μέλλον».
Πιστεύετε ότι θα άλλαζε κάτι στην έρευνά σας αν συναντούσατε τον Οϊλερ από κοντά και τον συναναστρεφόσασταν και ως άνθρωπο;
«Αυτό δεν το ξέρω. Είναι όμως γεγονός ότι τον μεγάλο μαθηματικό τον βλέπει κανείς κυρίως μέσα από τα συγγράμματά του».
Και ως άνθρωπο;
«Και βέβαια... Εγώ διαβάζοντας τα συγγράμματά του καταλαβαίνω τον χαρακτήρα του, τις ευαισθησίες του... Αυτό που μου κάνει μεγάλη εντύπωση μελετώντας τα συγγράμματα του Οϊλερ είναι η φαντασία και η εφευρετικότητά του. Νομίζω ότι ο μόνος που τον ξεπερνάει σε φαντασία και εφευρετικότητα είναι ο Αρχιμήδης».
Το παν στα μαθηματικά είναι η φαντασία;
«Γενικότερα το μεγαλύτερο προσόν του ανθρώπου είναι η φαντασία. Οπως είπε και ο Βολταίρος, "υπήρχε μεγαλύτερη φαντασία στο κεφάλι του Αρχιμήδη απ' ό,τι στο κεφάλι του Ομήρου"».
Συμφωνείτε με τον Βολταίρο;
«Νομίζω, ναι».
Τι είναι η φαντασία;
«Δεν ξέρω...».
Μήπως φαντασία είναι η δύναμη να εφεύρεις κάτι που δεν υπάρχει;
«Δεν είναι ότι εφευρίσκει κανείς κάτι που δεν υπάρχει· είναι ότι ανακαλύπτει κάτι που ήδη υπάρχει και απλώς δεν έχει γίνει ακόμη αντιληπτό από τον κόσμο. Νομίζω ότι αυτό είναι η φαντασία: το όχημα που μας κάνει να συλλάβουμε το μέχρι στιγμής "μη αντιληπτό" και μέσω αυτού να υπερβούμε το ήδη "γνωστό" ως πραγματικότητα».
Χρειάζεται ειδική ικανότητα για να κάνουμε αυτού του είδους τις ανακαλύψεις; Είναι θέμα ικανοτήτων ή τύχης;
«Αυτό στη δική μου την περίπτωση γίνεται πάντα όταν είμαι σε μια κατάσταση λήθαργου. Είναι κάτι που το έχω διασταυρώσει ότι συμβαίνει και σε άλλους συναδέλφους μου. Ο φίλος και συνάδελφος Τσαρλς Φέφερμαν διακεκριμένος μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο του Πρίνστον λέει κι αυτός ακριβώς το ίδιο· ότι βασικά όταν είναι κανείς σε μια κατάσταση λήθαργου, δηλαδή είναι ξαπλωμένος στο κρεβάτι έχει ήδη κοιμηθεί, ξεκουραστεί, αλλά δεν έχει καλά καλά ξυπνήσει ακόμη , εκείνη την ώρα που όλα είναι ακόμη σκοτεινά, τον επισκέπτονται αυτές οι ανακαλύψεις... Είναι η στιγμή που μπορεί να συγκεντρωθεί κάποιος απολύτως, επειδή δεν έρχεται ακόμη σε επαφή με τα ερεθίσματα της καθημερινότητας... Η καθημερινότητα κακά τα ψέματα σου αποσπά την προσοχή. Ο Φέφερμαν λέει ότι έχει παρατηρήσει πως σε τέτοιες στιγμές μπορεί να φανταστεί και να ανακαλύψει πολύπλοκα γεωμετρικά σχήματα και τύπους, τα οποία την επόμενη μέρα μπορεί να καθήσει να τα γράψει και να βγουν, ας πούμε, 25 σελίδες. Το ίδιο κι εγώ. Και το περίεργο είναι ότι σε αυτές τις περιπτώσεις δεν κάνω ποτέ λάθος όταν μεταφέρω τις ανακαλύψεις μου στο χαρτί την επόμενη μέρα. Ενώ κατά τη διάρκεια της ημέρας ό,τι κι αν προσπαθήσω να συλλάβω ή θα κωλώσω κάποια στιγμή ή θα κάνω κάποιο λάθος... Δεν ξέρω γιατί συμβαίνει αυτό... Δεν ξέρω γιατί, αλλά η φαντασία δεν έχει την ίδια ένταση όταν αναπτύσσεται στο πλαίσιο της καθημερινότητας... Η φαντασία στην κατάσταση που περιέγραψα λίγο πριν ανθεί... Ο λήθαργος αυτός είναι το καταλληλότερο περιβάλλον για να αναπτυχθεί η φαντασία».
Η φαντασία δηλαδή ευδοκιμεί στο σκοτάδι...
«Και, σας λέω, δεν συμβαίνει μόνο σε μένα αυτό. Πρέπει να είναι κάτι πολύ πιο γενικό. Απλώς φαίνεται ότι ο κόσμος δεν μιλάει τόσο πολύ γι' αυτό ή δεν το παρατηρεί εύκολα».
Αρα, τελικά, ο κύριος αντίπαλος της φαντασίας είναι η καθημερινότητα.
«Ακριβώς, η καθημερινότητα. Κατά τη διάρκεια της κάθε ημέρας έχει κανείς πολλές εντυπώσεις, από τις οποίες δεν είναι όλες σημαντικές. Μέσα στην καθημερινότητα για να συναντηθεί κανείς με το "σημαντικό" πρέπει να έχει τη δυνατότητα της επιλογής. Η επιλογή είναι πολύ χρήσιμη, αλλά είναι και ιδιαίτερα πολύπλοκη ως διαδικασία... Η πολυπλοκότητα αυτής της διαδικασίας επιλογής αναστέλλει σε μεγάλο βαθμό τη φαντασία. Γι' αυτό η φαντασία λειτουργεί καλύτερα την ώρα που σας περιέγραψα λίγο πριν... Εκείνη την ώρα κατά την οποία συγκεντρωνόμαστε μόνο σε αυτά που έχουν νόημα για μας... Σε τέτοιες στιγμές η φαντασία αποθεώνεται».
Τελικώς, οι λύσεις σπάνιων μαθηματικών προβλημάτων είναι θέμα φαντασίας; Θα μπορούσαμε να πούμε ότι η φαντασία είναι το λυσάρι αυτών των προβλημάτων;
«Σίγουρα η φαντασία στα μαθηματικά παίζει πολύ σημαντικό ρόλο, κι ας θεωρούνται τα μαθηματικά επιστήμη, επειδή βρίσκουν εφαρμογή στον χώρο των φυσικών επιστημών. Στα μαθηματικά υπάρχουν δύο χώροι. Στον έναν στον οποίο ανήκω κι εγώ οι μαθηματικές ανακαλύψεις βρίσκουν εφαρμογή και στις φυσικές επιστήμες... Υπάρχει όμως και ένας χώρος στα μαθηματικά εξίσου σημαντικός όπου οι όποιες λύσεις δεν φαίνεται να έχουν κάποια εφαρμογή. Σε αυτό το κομμάτι ο πιο διάσημος είναι ο φίλος μου και συνάδελφός μου στο Πρίνστον, ο Γουάιλς, ο οποίος έλυσε το περίφημο πρόβλημα του Φερμάτ. Ενα πρόβλημα που παρέμενε άλυτο επί 350 χρόνια».
Τώρα που λύθηκε, έχετε καταλάβει γιατί επί τόσα χρόνια παρέμενε άλυτο;
«Μα δεν ήταν το μόνο. Στα μαθηματικά υπάρχουν πολλά τέτοια άλυτα προβλήματα. Ακόμη και από την εποχή του Ευκλείδη υπάρχουν προβλήματα στα οποία δεν έχει δοθεί λύση, που σημαίνει ότι παραμένουν άλυτα 2.300 χρόνια».
Μπορείτε να μου πείτε ένα τέτοιο μαθηματικό πρόβλημα, απλό αλλά άλυτο;
«Αν, για παράδειγμα, "οι τέλειοι αριθμοί είναι άπειροι στο πλήθος". Οι τέλειοι αριθμοί είναι μεταξύ των θετικών ακεραίων. Για κάθε αριθμό εξετάζουμε ποιοι είναι οι διαιρέτες του. Για παράδειγμα, το 6 διαιρείται από το 1, το 2 και το 3. Και το 6 βέβαια, αλλά δεν λαμβάνουμε υπόψη μας τον ίδιο τον αριθμό, ενώ λαμβάνουμε υπόψη μας το 1. Ενας αριθμός λέγεται τέλειος όταν το άθροισμα των διαιρετών του ισούται με τον ίδιο τον αριθμό. Το 6, ας πούμε, είναι τέλειος αριθμός, γιατί 1+2+3=6. Το 4 δεν είναι, διότι διαιρείται από το 1 και το 2 (1+2=3). Ενας άλλος τέλειος είναι το 28 (1+2+4+7+14=28). Ο Ευκλείδης λοιπόν βρήκε έναν τύπο για όλους τους τέλειους αριθμούς οι οποίοι είναι ζυγοί και έκτοτε έχουν παραμείνει άλυτα δύο προβλήματα. Το ένα είναι "αν υπάρχουν και μονοί τέλειοι αριθμοί" πρόβλημα άλυτο ως σήμερα και το δεύτερο "αν αυτοί οι ζυγοί είναι άπειροι στο πλήθος ή πεπερασμένοι"».
Υπάρχουν άλυτα προβλήματα στη ζωή;
«Οχι... Υπάρχουν προβλήματα που δεν έχουμε ακόμη βρει τις λύσεις τους... Για μένα όλες οι λύσεις υπάρχουν, απλώς κάποιες δεν τις έχουμε ανακαλύψει ακόμη... Συχνά η καθημερινότητα σκεπάζει τις λύσεις και δεν μας αφήνει να τις δούμε».
Ο,τι συλλαμβάνουμε μέσω της φαντασίας πιστεύετε ότι μπορεί να γίνει πραγματικότητα;
«Ναι. Αλλωστε για να το συλλάβει η φαντασία μας σημαίνει ότι ήταν ήδη μια πραγματικότητα την οποία απλώς εμείς αγνοούσαμε. Αυτό είναι πολύ απλό να αποδειχθεί και προσωπικά έχω παραδείγματα από τη δική μου την έρευνα που αποδεικνύει του λόγου μου το αληθές».
Θέλετε να γίνετε λίγο πιο συγκεκριμένος;
«Κάποτε είχα συλλάβει με τη φαντασία μου μια γεωμετρική θεωρία, η οποία, ενώ δεν φαινόταν να έχει σχέση με την πραγματικότητα, αργότερα ανακάλυψα ότι περιγράφει τους κρυστάλλους που έχουν ατέλειες. Νωρίτερα προτού ανακαλύψω εγώ τη συγκεκριμένη γεωμετρική θεωρία μπορούσε κανείς να θεωρήσει ότι, εφόσον κάποιοι κρύσταλλοι έχουν ατέλειες, δεν μπορεί να υπάρξει σε σχέση με αυτούς μαθηματική θεωρία. Και όμως οι ατελείς κρύσταλλοι παρουσιάζουν μια αρμονία ανώτερη των τέλειων, όπως αποδείχθηκε. (γέλια) Οι άνθρωποι ακόμη και σε ό,τι αφορά την κοινωνία νομίζουν ότι κάτι που είναι ατελές δεν μπορεί να έχει μια αρμονία. Και όμως να που αποδεικνύεται το αντίθετο μαθηματικά. Οπως έχει αποδειχθεί και ότι μια απλούστατη μαθηματική κατασκευή μπορεί να οδηγήσει σε ένα δημιούργημα το οποίο έχει μια εντελώς απίθανη πολυπλοκότητα και αρμονία στη δομή του. Και αυτό δεν είναι εξίσου περίεργο;».
Πώς το εξηγείτε εσείς αυτό;
«Δεν μπορώ να το εξηγήσω. Η εξήγηση δεν βρίσκεται στον χώρο των μαθηματικών, αλλά στον χώρο της φιλοσοφίας και ακόμη πιο πέρα».
Πώς εξηγείτε το γεγονός ότι συλλάβατε κάτι για το οποίο ήσασταν σχεδόν σίγουρος ότι δεν υφίστατο και με τον καιρό αποδείχθηκε τελικά το αντίθετο; Πώς εξηγείτε δηλαδή ότι το μυαλό προηγείται της πραγματικότητας;
«Βασικά σε αυτό το σημείο εγώ είμαι πλατωνιστής. Πιστεύω δηλαδή ότι προϋπάρχει αυτός ο κόσμος των ιδεών, ότι το μυαλό μας έρχεται σε επαφή με αυτό τον κόσμο και ο πραγματικός κόσμος σχετίζεται ή μάλλον απορρέει από αυτόν».
Κάθε φορά που συλλαμβάνετε κάτι με μαθηματικό τρόπο δεν νιώθετε την ανάγκη να το αποδείξετε και πειραματικά;
«Βεβαίως με ενδιαφέρει να αποδειχθεί κάτι που συλλαμβάνω και πειραματικά. Αλλά θεωρώ ότι το ταλέντο μου, η ικανότητα που έχω, είναι κατ' αρχάς στο να επιλύω μαθηματικά προβλήματα. Αντίθετα, κάποιοι άλλοι έχουν μεγαλύτερο ταλέντο στην εφαρμογή των μαθηματικών λύσεων».
Φοβερή εξειδίκευση... Η τόση εξειδίκευση οδηγεί στην ευτυχία; Μιλάω για την προσωπική ευτυχία και όχι για την επαγγελματική χρησιμότητα.
«Ναι, καταλαβαίνω τι θέλετε να πείτε... Η εξειδίκευση δεν είναι ό,τι καλύτερο, αν και πολύ αναγκαίο... Εγώ προσπαθώ να καταπιαστώ με περισσότερους τομείς για να μην εγκλωβιστώ προσωπικώς στην πλήξη της μονομανίας και της εξειδίκευσης. Υπάρχουν άλλοι, οι οποίοι εξειδικεύονται όχι μόνο στα μαθηματικά γενικά, αλλά σε ένα μικρό κομματάκι των μαθηματικών, αδιαφορώντας για οτιδήποτε άλλο. Για να βραβευθεί κανείς με το βραβείο Βôcher αναγκαία προϋπόθεση είναι να έχει μια ουσιαστική συνιστώσα αναλύσεως».
Εσείς πιστεύετε ότι η εξειδίκευση βοηθάει να πλησιάσουμε στην αλήθεια;
«Η αλήθεια προσεγγίζεται μόνο μέσω της φαντασίας... Δεν έχει να κάνει με την εξειδίκευση ή οτιδήποτε άλλο. Ο μόνος δρόμος που μας οδηγεί στην αλήθεια είναι η φαντασία... Βλέπει κανείς ότι συνήθως αυτοί που κάνουν τις μεγάλες ανακαλύψεις δεν είναι και πολύ ειδικοί. Απλώς είναι άνθρωποι που κάνουν απίθανους συνδυασμούς για να καταλήξουν σε μια ανακάλυψη. Οι μεγάλες ανακαλύψεις χρειάζονται πάντοτε κάποιο συνδυασμό, μια ιδέα που έρχεται από αλλού. Από έναν άλλο χώρο που κανείς δεν περιμένει ότι μπορεί να βοηθήσει στην επίλυση ενός προβλήματος. Ας πάρουμε ως κορυφαίο παράδειγμα το έργο του Αρχιμήδη. Ξέρετε πώς μέτρησε τον όγκο της σφαίρας... Θα νόμιζε κανείς ότι εφάρμοσε κάποια άπειρη μέθοδο σε συνδυασμό με γεωμετρία. Κι όμως εδώ βλέπει κανείς τη φαντασία του Αρχιμήδη. Σκέφτηκε κάτι που προερχόταν από τον χώρο της μηχανικής ανισορροπία βαρών. Αδύνατον να το σκεφτεί ένας ειδικός στη γεωμετρία. Ο όγκος της σφαίρας, που είναι καθαρά γεωμετρικό πρόβλημα, έχει να κάνει με μια ισορροπία βαρών, η οποία σχετίζει τη σφαίρα με τον κύλινδρο και με τον κώνο. Και μέσα από τη σχέση αυτή των τριών βρίσκουμε τον όγκο της σφαίρας. Γι' αυτό σας λέω ότι η ανακάλυψη της αλήθειας είναι ζήτημα φαντασίας... Μιας φαντασίας του μεγέθους του Αρχιμήδη. Αλλωστε αυτό συμβαίνει και στη ζωή... Εχουμε ένα πρόβλημα... Συχνά η λύση του προβλήματος έρχεται από κάπου που δεν το περιμένουμε. Για αυτό και στη ζωή αυτοί που λύνουν πιο αποτελεσματικά τα προβλήματά τους είναι αυτοί που έχουν πάντοτε σύντροφό τους τη φαντασία... Οι λύσεις και οι ανακαλύψεις είναι ζήτημα ικανότητας συνδυασμών».
Εσείς που το έχετε καταλάβει αυτό ζείτε καλύτερα; Δηλαδή μπροστά μου τώρα έχω έναν άνθρωπο που έχει ανακαλύψει το μυστικό της ζωής;
«Δεν νομίζω. Στην περίπτωσή μου περισσότερο αισθάνεται κανείς σαν τους μοναχούς παρά σαν τους κοινούς ανθρώπους. Για το μόνο που μπορώ να πω ότι νιώθω καλά είναι το ότι επέλεξα να ζω όπως ζω. Χρειάζεται τόσο μεγάλη συγκέντρωση αυτό που κάνω που σιγά σιγά, χωρίς να το καταλάβεις, απομακρύνεσαι από τη ζωή. Χρειάζομαι πολλές ώρες αφοσίωσης».
Πώς γίνεται ένας επιστήμονας σαν εσάς που ζει απομονωμένος από τη ζωή να περιγράφει τόσο καλά τα μυστικά της ζωής;
«Ισως ακριβώς επειδή ο επιστήμονας δεν είναι τόσο πολύ μέσα στη ζωή μπορεί να τη βλέπει από κάποια απόσταση... Πρέπει να κρατάς μια απόσταση από το γεγονός της ζωής για να το δεις στις πραγματικές διαστάσεις του. Δεν έχετε προσέξει ότι όταν ζούμε κάποιες στιγμές δυστυχίας μπορούμε να δούμε με μεγαλύτερη σαφήνεια αυτό που λέμε ευτυχία; Οταν ζεις μια ευτυχισμένη στιγμή, δεν μπορείς να μιλήσεις για αυτή... Χρειάζεται απόσταση για να δούμε τις αληθινές διαστάσεις της ζωής».
Αρα η αφοσίωση του επιστήμονα τον βγάζει από τη ζωή γενικότερα, αλλά τον βοηθάει να δει την αληθινή της διάσταση... Αλήθεια, τι είναι προτιμότερο να είσαι απών αλλά να ξέρεις την αλήθεια ή να είσαι παρών και να την αγνοείς;
«Δεν μπορώ να απαντήσω σε αυτό το ερώτημα... Μπορώ όμως να σας πω ότι αυτό το οποίο σε βοηθάει η αφοσίωση να ανακαλύψεις είναι το μισό, δεν είναι το όλον. Γιατί υπάρχει και το άλλο μισό που είναι ο κόσμος των συναισθημάτων, στον οποίο ένας μαθηματικός, ένας επιστήμονας, δεν έχει τίποτε να πει. Νομίζω ότι οι ποιητές και οι μουσικοί ασχολούνται με το άλλο μισό της ζωής, που είναι ο κόσμος των συναισθημάτων».
Μα οι περισσότεροι μουσικοί είναι μαθηματικοί. Πώς το εξηγείτε αυτό;
«Ναι, εκεί υπάρχει κάποια προσέγγιση, αυτό είναι αλήθεια. Η αντίθεση για μένα είναι περισσότερο σε σχέση με την ποίηση παρά με τη μουσική. Η ποίηση έχει να κάνει καθαρά με την άλλη πλευρά του κόσμου, τη συναισθηματική».
Ενα λεπτό... Αν το μισό της ζωής είναι ο κόσμος των συναισθημάτων, το άλλο μισό ποιο είναι;
«Κοιτάξτε, ο κόσμος έχει δύο διαστάσεις: Η μία είναι το Σύμπαν, το οποίο χαρακτηρίζεται από μια αρμονία. Την αρμονία αυτή εμείς τη βλέπουμε ως μια μεγάλη συμφωνία, η οποία είναι μαθηματική συμφωνία. Η ποίηση όμως πιάνει μια άλλη διάσταση του κόσμου. Γι' αυτό σας είπα προηγουμένως ότι ο κόσμος είναι δύο πράγματα· ένα το οποίο το καταλαβαίνουμε εμείς οι μαθηματικοί και ένα άλλο, το οποίο το καταλαβαίνουν οι ποιητές».
Εσείς δεν καταλαβαίνετε την ποίηση;
«Ως άνθρωπος δεν μπορώ να πω ότι είμαι μόνο μαθηματικός. Ας πούμε, ο Ομηρος με συγκινεί πάρα πολύ. Απλώς φροντίζω να μην επιτρέπω στον εαυτό μου να παθαίνω πολύ συχνά αυτό που παθαίνω διαβάζοντας Ομηρο».
Γιατί;
«Γιατί όταν διαβάζω Ομηρο συγκινούμαι πάρα πολύ και αυτό με απομακρύνει ίσως από τον προορισμό μου, που είναι τα μαθηματικά».
Στην Αθήνα γεννηθήκατε;
«Ναι, εδώ στην Αθήνα. Μεγάλωσα στο Παγκράτι».
Μιλάτε σαν ένας άνθρωπος που μεγάλωσε μέσα στη φύση... Αλήθεια, πότε ανακαλύψατε αυτό το ταλέντο σας στα μαθηματικά;
«Μου πήρε πολύ καιρό. Το ανακάλυψα τον Δεκέμβριο του '77. Ημουν τότε 26 ετών. Αλλά να σκεφτείτε ότι το διδακτορικό μου δίπλωμα το είχα πάρει πολύ πιο πριν, στα 19».
Στα 19; Πώς γίνεται αυτό;
«Δεν ξέρω, εξαρτάται από το πώς μετράει κανείς τις ηλικίες. Εγώ στα 19 είχα πάρει το διδακτορικό μου».
Οι γονείς σας τι δουλειά έκαναν;
«Ο πατέρας μου ήταν ασφαλιστής και η μητέρα μου στο σπίτι, νοικοκυρά».
Μικρός υπήρξατε ένα συνηθισμένο παιδί σαν όλα τ' άλλα;
«Κοιτάξτε, είναι πολλά πράγματα που δεν τα θυμάμαι και τόσο καλά. Ο Ηράκλειτος δεν έλεγε ότι δεν μπορεί να μπει κανείς δύο φορές στο ίδιο ποτάμι; Ολα αλλάζουν και εγώ νομίζω ότι δεν είμαι καθόλου ο ίδιος άνθρωπος με τότε που ήμουν παιδί και έφηβος. Καμιά φορά, όταν μετακομίζω, ας πούμε, τυχαίνει να πέσει στα χέρια μου κάποια παλιά εργασία και μου είναι αδύνατον να πιστέψω ότι την έγραψα εγώ. Ούτε καν ο γραφικός χαρακτήρας δεν μοιάζει. Θέλω να πω πως ό,τι κι αν σας πω για τότε για τα παιδικά και εφηβικά μου χρόνια θα είναι σίγουρα ιδωμένο μέσα από το πρίσμα τού σήμερα. Νομίζω ότι ήμουν ένα παιδί εντελώς νορμάλ ως την ηλικία των 14 ετών».
Ησασταν καλός μαθητής;
«Καλούτσικος».
Σε δημόσιο σχολείο πηγαίνατε;
«Οχι, πήγαινα στη Σχολή Μωραΐτη και είχα μια έφεση στον αθλητισμό, και ειδικά στην ενόργανη. Κάποια στιγμή, γύρω στα 14 ενώ είχα τελειώσει την Γ' Γυμνασίου περιέργως πώς ενδιαφέρθηκα πάρα πολύ για ένα πρόβλημα ευκλείδειας γεωμετρίας. Εκείνο που δεν μπορώ να καταλάβω ακόμη και τώρα που το σκέφτομαι εκ των υστέρων είναι για ποιο λόγο εκείνο το πρόβλημα μου δημιουργούσε μια τέτοια ανάγκη μελέτης, η οποία για μένα ήταν κάτι το απίθανο τότε. Εκείνο το καλοκαίρι διάβασα την ύλη όλων των επόμενων τάξεων του Γυμνασίου στον χώρο των μαθηματικών αλλά και της φυσικής. Είναι κάτι το οποίο ακόμη και τώρα δεν μπορώ να εξηγήσω».
Λέτε αυτό να είναι το ταλέντο; Η φανέρωση μιας ανεξήγητης έλξης για κάτι;
«Δεν ξέρω, ίσως. Η ατυχία πάντως είναι η εξής: Στη μετέπειτα πορεία μου, ως την ηλικία των 26 ετών, είχα στραφεί προς τη φυσική και ιδίως σε μια προσέγγιση της φυσικής για την οποία δεν είχα ιδιαίτερο ταλέντο. Το δικό μου ταλέντο είναι τα μαθηματικά, αλλά ως τα 26 μου δεν το ήξερα. Μπορεί και οι τωρινές εργασίες μου να έχουν επίδραση στη φυσική, αλλά μόνο μέσω των μαθηματικών οδηγούμαι στη φυσική. Αυτό, παρ' όλο που με τη γνώση που έχω τώρα είναι σαφές, τότε δεν το είχα καταλάβει».
Πώς και δεν το είχατε καταλάβει;
«Τι να σας πω, δεν ξέρω... Ξέρετε, συχνά οι γύρω μπερδεύουν την ευκολία που έχει ένα παιδί σε κάτι με το έμφυτο ταλέντο. Φαίνεται ότι σε κάποιο βαθμό οι έξω μπορεί να τα μπέρδεψαν αυτά τα δύο στην περίπτωσή μου. Πολλά από τα προβλήματα με τα οποία έρχεται αντιμέτωπος ένας θεωρητικός φυσικός μπορεί να τα λύσει χρησιμοποιώντας πολύ περισσότερο το ταλέντο των μαθηματικών. Εγώ πάντοτε έτσι τα έλυνα, μέσω των μαθηματικών. Αυτό όμως δεν το είχαν προσέξει οι καθηγητές μου και έτσι μπήκα σε ένα δρόμο καθαρά φυσικής χωρίς να έχω το έμφυτο ταλέντο του φυσικού... Τους εντυπωσίαζε η αποτελεσματικότητά μου στη λύση διαφόρων προβλημάτων της φυσικής, αλλά αγνοούσαν ότι εγώ επέλυα αυτά τα προβλήματα με μαθηματικό τρόπο. Κάποια στιγμή όμως, μη έχοντας ταλέντο στη φυσική, έφτασα σε ένα τέλμα, στο οποίο έμεινα κολυμπώντας ασκόπως για κάμποσα χρόνια. Βλέποντας ότι δεν πάω πουθενά, άρχισα να νιώθω φοβερή μελαγχολία. Ωσπου ξαφνικά το '76 πήγα στη Γερμανία και συνάντησα ένα θεωρητικό φυσικό, ο οποίος είχε λατρεία με τα μαθηματικά. Αυτός κατάλαβε αμέσως το έμφυτο ταλέντο μου. "Εσένα", μου είπε, "το ταλέντο σου είναι τα μαθηματικά. Προσεγγίζεις τη φυσική μέσω των μαθηματικών". Και μου έδωσε να μελετήσω ένα πρόβλημα την ακτινοβολία βαρύτητος αυτού του διπλού συστήματος των αστέρων το οποίο ήταν άμεσα συνδεδεμένο με την εργασία που με οδήγησε και στο βραβείο Bocher. Η εργασία αυτή ξεκίνησε το '77, συμπληρώθηκε το '90 και δημοσιεύτηκε το '93. Δηλαδή η λύση δόθηκε 13 χρόνια μετά. Το έναυσμα πάντως δόθηκε από αυτόν τον Γερμανό, τον Ελερς, ο οποίος με παρότρυνε να ασχοληθώ με αυτό και να διαβάσω κάποια συγκεκριμένα βιβλία μαθηματικών. Τα βιβλία αυτά που διάβασα τότε είναι αυτά που διδάσκω σήμερα στους τριτοετείς προπτυχιακούς. Μόλις έπεσαν στα χέρια μου αυτά τα βιβλία είπα: "Εδώ είμαστε... αυτό είναι". Διότι αυτό ήταν το φυσικό μου ταλέντο. Μέσα σε τέσσερα χρόνια, από το τέλος του '77 ως το '81, πήρα το πρώτο μου βραβείο στα μαθηματικά».
Επειτα από εκείνο το καλοκαίρι που πέσατε με τα μούτρα στα μαθηματικά συνεχίσατε πηγαίνοντας κανονικά στην Δ' Γυμνασίου;
«Ναι, τελειώνω την τετάρτη, πηγαίνω και στην πέμπτη, αλλά στα μισά της πέμπτης τάξης φεύγω».
Πώς πάτε;
«Στα μισά της πέμπτης οι γονείς μου, μέσω ενός φίλου τους, ήρθαν σε επαφή με τον Αχιλλέα Παπαπέτρου, ο οποίος ήταν καθηγητής στο Παρίσι και φίλος του Γουίλερ. Ο Γουίλερ είχε έρθει ένα διάστημα στο Παρίσι με άδεια και έτσι ο Παπαπέτρου μάς σύστησε».
Δηλαδή οι γονείς σας είχαν ήδη συνειδητοποιήσει ότι «το παιδί μας έχει κάτι που πρέπει πάση θυσία να το βοηθήσουμε να το καλλιεργήσει»...
«Σωστά... Αφού θυμάμαι ότι εκείνο, το πρώτο καλοκαίρι που με έπιασε αυτή η μανία με τα μαθηματικά δεν με ενδιέφερε ούτε και να φάω ακόμη. Και τώρα όμως μπορώ πολύ εύκολα να απορροφηθώ. Να σας πω ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα. Το ρολόι που φοράω κουρδίζεται με την κίνηση του χεριού μου. Μου έχει τύχει να καθήσω συγκεντρωμένος και εντελώς ακίνητος τόσο πολλή ώρα που να σταματήσει, να ξεκουρδιστεί. Το ρολόι αυτό αν δεν κινηθεί για δεκαοκτώ ώρες περίπου σταματάει. Και αυτό που σας λέω έχει γίνει, δεν είναι υπερβολή».
Ολη αυτή η αλλαγή στη ζωή σας σας είχε τρομάξει; Το ότι δηλαδή βρεθήκατε στο Παρίσι στα 16 σας να σπουδάζετε πώς το αντιμετωπίσατε;
«Δεν θυμάμαι ακριβώς. Τότε είχα μια μεγάλη τρέλα, ήθελα να φύγω, να γνωρίσω τον κόσμο... Η Ελλάδα για μένα ήταν πολύ μικρή. Παιδιά τότε, εκείνη την εποχή, η Αμερική ήταν για μας ένας κόσμος μυθώδης που τον βλέπαμε μόνο στα έργα. Οταν τον γνώρισα βέβαια και στη συνέχεια, τα είδα αλλιώς τα πράγματα».
Για έναν άνθρωπο σαν κι εσάς είναι πιο σημαντική η στιγμή της επίλυσης ενός προβλήματος από τη διαδικασία αναζήτησης της λύσης;
«Το ταξίδι είναι οπωσδήποτε το σημαντικότερο. Γιατί; Γιατί αυτή η διαδρομή είναι που μετράει, όλη αυτή η πορεία. Οσο διαρκεί αναπτύσσονται μέθοδοι, οι οποίες στο μέλλον θα βοηθήσουν άλλους ανθρώπους να λύσουν κάποια άλλα προβλήματα, τα οποία μπορεί να είναι σημαντικότερα από αυτό που λύθηκε. Απλώς το κάθε πρόβλημα που ζητάει λύση είναι μια μεγάλη πρόκληση. Σαν έχεις να ανέβεις το Εβερεστ είναι το κάθε πρόβλημα. Πάντοτε έτσι γίνεται· οι μέθοδοι που δοκιμάζεις για να το λύσεις είναι πάντοτε πιο σημαντικές από το ίδιο το πρόβλημα. Ενα πολύ καλό παράδειγμα αυτού που σας λέω θα ήταν η λύση του προβλήματος της κινήσεως δύο σωμάτων από την αμοιβαία βαρυτική έλξη, που έλυσε ο Νεύτων. Για να λύσει το πρόβλημα αυτό ο Νεύτωνας, έπρεπε να αναπτύξει τον διαφορικό λογισμό, ο οποίος στην κυριολεξία έφερε τα πάνω κάτω».
Αλήθεια, τι πιστεύετε ότι είναι τελικά το ταλέντο; Γεννιόμαστε με αυτό;
«Δεν ξέρω αν γεννήθηκα με το μαθηματικό ταλέντο ή αν εμφανίστηκε αργότερα. Πάντως κάποια στιγμή, όπως σας είπα, το συνειδητοποίησα...».
Εχετε σκεφθεί πως θα μπορούσε να έχει συμβεί κάτι και να μην είχατε ανακαλύψει το ταλέντο σας;
«Δεν το πιστεύω. Γιατί έχει κανείς τέτοια παθιασμένη διάθεση να πάει προς το ταλέντο του ώστε δεν γίνεται να μην πάει. Νομίζω ότι το ίδιο συμβαίνει και με ένα ζωγράφο· τον τρώει το χέρι του». (γέλια)
Αρα η ύπαρξη του ταλέντου οδηγεί στην ανακάλυψή του.
«Ναι... νομίζω ότι έτσι πρέπει να είναι».
Αρα το ταλέντο μάς οδηγεί στη ζωή. Εσάς το ταλέντο σάς οδήγησε στον καθηγητή Ελερς;
«Α, δεν ξέρω. Εκεί ήταν ίσως και η ευτυχής συγκυρία. Γιατί υπήρχε ένας ολόκληρος κόσμος ο οποίος ήταν άγνωστος για μένα. Δεν ήξερα καν ότι υπάρχει αυτή η επιστήμη. Και μόλις την ανακάλυψα, είπα: "Εδώ είμαι". Αυτό για το οποίο είμαι βέβαιος είναι ότι αργά ή γρήγορα θα ανακάλυπτα ό,τι κι αν γινόταν το ταλέντο μου».
Νιώθετε επαγγελματίας;
«Οχι... Εγώ αυτό που κάνω είναι η ζωή μου. Ενας επαγγελματίας πάει στη δουλειά του, κάνει ό,τι κάνει και όταν σχολάει κατεβάζει τα ρολά... Εγώ, ακόμη κι όταν είμαι ξαπλωμένος, ακόμη κι όταν κοιμάμαι, δεν μπορώ να ξεφύγω από αυτό που με απασχολεί. Ακόμη και κάνοντας μια βόλτα στην παραλία, παρ' όλο που το περιβάλλον είναι πολύ ωραίο, μέσα μου γεννιούνται ορισμένες σκέψεις, πάντα σε σχέση με αυτό που με απασχολεί στην έρευνά μου. Ειδικά τώρα που ασχολούμαι με την υδροδυναμική, η θέα της θάλασσας με κάνει, ας πούμε, να σκέφτομαι τους στροβιλισμούς του νερού. Οπότε, όπως καταλαβαίνετε, πάει αλλού το μυαλό μου συνεχώς. Ζω πολύ με αυτές τις έμμονες ιδέες μου και μπορώ να πω ότι με τον καιρό χειροτέρεψα. Καμιά φορά προσπαθώ να ξεφύγω διαβάζοντας, ας πούμε, λίγο Ομηρο ή αρχαία τραγωδία. Αυτά όμως με βγάζουν τελείως από τις σκέψεις μου, όπως σας είπα».
Οσο περνά ο καιρός, τελικά γίνεστε πιο απόλυτος ή πιο επιλεκτικός;
«Γίνομαι όλο και πιο απόμακρος. Ας πούμε, στο παρελθόν μπορεί να ήμουν ένας μοναχός στο Αγιον Ορος, από αυτούς που μένουν στα μοναστήρια. Γιατί στο Αγιον Ορος, όπως ξέρετε, υπάρχουν οι ασκητές και υπάρχουν και οι ερημίτες. Αν λοιπόν πριν ήμουν απλώς ασκητής, τώρα έχω προχωρήσει προς τον ερημίτη». (γέλια)
Ο ερημίτης συναντιέται με την ευτυχία; Ο ερημίτης επιζητεί την ευτυχία;
«Το ζητούμενο του ερημίτη είναι η αναγνώριση της προσπάθειάς του, η ικανοποίησή του μέσω αυτής της αναγνώρισης, νομίζω. Ενα βραβείο όπως αυτό που πήρα εγώ μπορεί να είναι μια απόδειξη αυτής της αναγνώρισης».
Σας έχει απασχολήσει η μετέπειτα εκμετάλλευση μιας λύσης ενός προβλήματος την οποία έχετε δώσει εσείς; Τι θα κάνατε αν αντιλαμβανόσασταν ότι η πιθανή δική σας επιστημονική ανακάλυψη χρησιμοποιείτο εναντίον του ανθρώπου;
«Αυτό που λέτε μπορεί να συμβεί μετά. Νομίζω ότι ο μαθηματικός είναι δύο βήματα πριν».
Σύμφωνοι· αλλά αν αυτό το πράγμα το γνωρίζατε ως πιθανότητα να συμβεί μετά, τι θα κάνατε; Θα συνεχίζατε την έρευνά σας;
«Νομίζω ότι δεν μπορείς να σταματήσεις την έρευνα. Αλλωστε ό,τι καταστρέφει τον άνθρωπο, τον ευεργετεί. Η χρήση εναπόκειται στους ανθρώπους... Βέβαια, αν κάποιος επιστήμονας ήταν σίγουρος ότι η όποια ανακάλυψή του θα είχε μόνο κακές συνέπειες για τους ανθρώπους, τότε θα ήταν καλύτερα να μην επιχειρήσει την ολοκλήρωση των ερευνών του. Ευτυχώς εμείς οι μαθηματικοί είμαστε, νομίζω, τόσο μακριά από όλα αυτά. Γιατί ο κόσμος μας είναι περισσότερο ένας κόσμος ιδεών. Από εκεί και πέρα υπάρχει η προσέγγιση με τη φυσική πραγματικότητα, οπότε μπαίνουμε πλέον στον χώρο των φυσικών επιστημών και μετά ακολουθεί η εφαρμογή. Στον 20ό αιώνα πάντως έχουμε δει επιστήμονες οι οποίοι ήρθαν αντιμέτωποι με αυτό το δίλημμα, διότι ασχολήθηκαν με πράγματα που έχουν να κάνουν με τις φυσικές επιστήμες από τη μία και με την εφαρμογή τους από την άλλη. Ο Τζον Γουίλερ, έχοντας ασχοληθεί με την ατομική ενέργεια και τα ατομικά όπλα, οπωσδήποτε θα βρέθηκε μπροστά σε αυτό το δίλημμα, το οποίο σίγουρα θα ήταν οδυνηρό γι' αυτόν. Μιλάμε τώρα για μια διαφορετική εποχή, όπου υπήρχε κάποια απειλή».
Ολο αυτό τον καιρό στο εξωτερικό δεν σας ήρθε ποτέ η διάθεση να επιστρέψετε πίσω στην Ελλάδα, να δουλέψετε, να κάνετε κάτι εδώ;
«Στα 21 μου, όταν γύρισα για ένα μικρό διάστημα στην Ελλάδα, ήταν μια τέτοια εποχή. Μόλις είχα τελειώσει τις σπουδές μου. Για την ακρίβεια, ένα χρόνο μετά. Αμέσως μόλις τελείωσα το διδακτορικό πήγα για ένα χρόνο στην Καλιφόρνια και ύστερα ήρθα εδώ. Αλλά αν θυμάμαι καλά επειδή είπαμε ότι όλα είναι υπό το πρίσμα του παρόντος ήταν μια εποχή αντίδρασης προς την προηγούμενη, κατά την οποία ήμουν πλήρως αφοσιωμένος στη μελέτη. Για μένα η Αμερική τότε ήταν ο παράδεισος, όλος αυτός ο μαγικός κόσμος που ως μικρό παιδί στην Ελλάδα τον έβλεπα μόνο στα έργα. Στη συνέχεια όμως αντέδρασα, γιατί κάποια στιγμή ανακάλυψα την Ελλάδα. Διάβαζα έλληνες συγγραφείς Καζαντζάκη, Ομηρο , άκουγα νεοελληνική μουσική... Ολα αυτά έκαναν πολύ μεγάλη τη νοσταλγία. Ηταν τόσο μεγάλος ο πόθος μου να γυρίσω στην Ελλάδα τότε, ώστε δεν αξιολόγησα σωστά το γεγονός ότι η επιστροφή μου θα συνέβαινε κατά την περίοδο της δικτατορίας. Ηταν μια ατυχής συγκυρία για μένα. Με την επιστροφή μου στην Ελλάδα αντιλήφθηκα αμέσως τη δραματικότητα της κατάστασης, που κορυφώθηκε στο Πολυτεχνείο... Ξανάφυγα και επανήλθα πια με τη μεταπολίτευση, για να κάνω το στρατιωτικό μου, το οποίο δεν το είχα κάνει ακόμη. Πάντως η τότε σύζυγός μου που ήταν Αμερικανίδα με απομάκρυνε από την Ελλάδα για αρκετά χρόνια ή μάλλον, για την ακρίβεια, απομακρύνθηκα και μόνο όταν είχα πλέον ωριμάσει είδα τα πράγματα με άλλη ματιά. Γιατί όταν είναι κανείς νέος τα βλέπει όλα ρόδινα και πάει με μεγάλη ευκολία από τη μία άποψη στην τελείως αντίθετη. Στην πορεία αρχίζεις και μπαίνεις στο βάθος των πραγμάτων. Σήμερα βλέπω τα πράγματα πολύ διαφορετικά. Εχω αρχίσει, ας πούμε, ξανά την επαφή μου με την Ελλάδα. Πολύ μεγάλο μέρος του χρόνου το περνάω εδώ».
Θα μπορούσατε να συνεχίσετε την έρευνά σας ζώντας εδώ;
«Μα ένα μεγάλο μέρος της έρευνάς μου το κάνω ήδη εδώ».
Να σας το πω διαφορετικά. Τι παίζει μεγαλύτερο ρόλο σε αυτό που κάνετε; Το χώμα όπου θα σπείρετε ή το πόσο καλός είναι ο σπόρος, οπότε να ανθίσει όπου και αν τον σπείρετε;
«Κοιτάξτε, τώρα πια είμαι πλέον δημιουργημένος. Δηλαδή αυτή τη στιγμή μπορώ να δουλέψω εξίσου καλά τόσο εδώ όσο και στην Αμερική. Απλώς χρειάζεται σε ορισμένα χρονικά διαστήματα να επιστρέφω, να ανακοινώνω, να κάνω κάποια επαφή με τους άλλους συναδέλφους. Πλέον όμως αυτά τα διαστήματα μπορούν να είναι το ένα τέταρτο του χρόνου μιας χρονιάς. Τα υπόλοιπα τρία τέταρτα μπορώ να βρίσκομαι εδώ. Δεν υπάρχει πρόβλημα. Ηδη πέντε μήνες τον χρόνο είμαι εδώ και επτά μήνες στην Αμερική. Αλλά κάποιος ο οποίος ξεκινάει τώρα είναι μία άλλη περίπτωση, εντελώς διαφορετική. Τότε, ναι, παίζει μεγάλο ρόλο το περιβάλλον το χώμα, όπως λέτε και εσείς και οι άνθρωποι που θα βρεθούν γύρω του. Ο σπόρος θέλει καλό χώμα. Αν εγώ είχα μείνει εδώ, όσο καλός και αν ήταν ο σπόρος μου, δεν θα άνθιζε, γιατί δεν υπήρχε και ούτε υπάρχει χώμα κατάλληλο... Το περιβάλλον είναι καθοριστικό όταν πρωτορίχνουμε τον σπόρο...».
Μελλοντικά θα μπορούσατε εσείς να δημιουργήσετε ένα καλύτερο χώμα στην Ελλάδα για να πιάνουν σπόροι καλοί και να μην πρέπει να αναζητήσουν αλλού την τύχη τους;
«Νομίζω ότι μελλοντικά σε κάποια φάση θα μπορούσα να κάνω κάτι εδώ. Το βλέπω καθαρά ότι θα μπορούσα κάτι να κάνω. Οχι στα πλαίσια του Πανεπιστημίου ή της Ακαδημίας. Σε κάτι τελείως διαφορετικό, το οποίο θα μπορούσε να είναι ένα Ινστιτούτο στη μορφή του Ινστιτούτου Προκεχωρημένων Σπουδών του Πρίνστον. Είναι κάτι το οποίο το ξέρω πολύ καλά, έχω ιδίαν πείρα. Δεν εννοώ βέβαια ότι το φαντάζομαι στο μέγεθος του Ινστιτούτου του Πρίνστον, μιλάμε για πολύ μικρότερη κλίμακα».
Και τι ακριβώς θα σήμαινε αυτό;
«Θα σήμαινε ένα Ινστιτούτο Μαθηματικών, το οποίο θα είχε μικρό αριθμό από μόνιμα μέλη, το καθένα σε έναν καίριο κλάδο των μαθηματικών, αλλά θα ήταν ανοιχτό και προς τις εφαρμογές. Παράλληλα το φαντάζομαι να έχει μη μόνιμες θέσεις και να φιλοξενεί πολύ εξέχοντες επιστήμονες από το εξωτερικό προσωπικά νομίζω ότι ξέρω περισσότερους από τους μισούς. Γιατί τους έχω δει κατά καιρούς, έχω μιλήσει μαζί τους σε συνέδρια, με τους περισσότερους είμαστε φίλοι. Ηδη στο Πρίνστον, εκτός από αυτούς που ανέφερα, είναι και ο φίλος μου ο Τζον Νας, ο οποίος θα έρθει και στην Ελλάδα. Στην απονομή του βραβείου που μου έδωσαν καθόταν δίπλα μου, γιατί δόθηκε και σε αυτόν ένα βραβείο, το βραβείο Steele, το οποίο απονέμεται κάθε χρόνο για κάτι που είχε ξεχαστεί. Αυτός έπρεπε οπωσδήποτε να έχει πάρει το Βôcher, αλλά δεν το πήρε, γιατί όταν ήταν να το πάρει είπαν: "Εχει αυτός καιρό". Το ίδιο και για το μετάλλιο Φιλντ: "Εχει καιρό, θα το πάρει λίγο πιο αργά". Μετά όμως έπαθε τη σχιζοφρένεια και για πολλά χρόνια έμεινε άρρωστος. Την αναγνώριση την πήρε μόνο τα τελευταία χρόνια, όταν ο άνθρωπος ξαναβρήκε τα σύγκαλά του».
Πιστεύετε ότι τα λάθη είναι πηγή γνώσης για έναν άνθρωπο που ψάχνει να βρει το σωστό; Τι είναι το λάθος; Είναι φως ή σκοτάδι;
«Υπάρχουν λάθη και λάθη. Υπάρχουν λάθη που διορθώνονται εύκολα, αλλά φαντάζομαι ότι εσείς εννοείτε αυτά που μας κρατάνε καθηλωμένους για πολύ καιρό. Αυτά, που είναι και τα πιο ουσιαστικά, πιστεύω ότι οφείλονται σε ένα μπλοκάρισμα του μυαλού (mental block). Είναι αυτά που μας υποδεικνύουν ότι πρέπει να αλλάξουμε τρόπο σκέψεως, διότι αυτό είναι που μας οδηγεί στη λανθασμένη προσέγγιση ενός προβλήματος. Ο τρόπος που αντιμετωπίζουμε το πρόβλημα, μην μπορώντας προφανώς να δούμε κάποια σημαντική πτυχή του. Ξέρετε, αν πάρουμε λάθος δρόμο, συχνά χάνουμε και την επαφή μας με το φως...».
Τι είναι αυτό που κάνει τη μεγάλη διαφορά μεταξύ του κοινού επιστήμονα και του μεγάλου επιστήμονα;
«Νομίζω ότι οι μεγάλοι επιστήμονες συνδυάζουν τη διόραση και την απόδειξη βήμα βήμα της λύσης ενός προβλήματος. Ο Αρχιμήδης, ας πούμε, τα έχει και τα δύο, ο Νεύτων τα έχει και τα δύο. Ο Αϊνστάιν έχει μόνο το ένα τη διόραση, όχι την απόδειξη , οπότε είναι λιγότερο σημαντικός. Ο Γκάους, πάλι, μου φαίνεται ότι έχει μόνο την απόδειξη. Οι περισσότεροι θα έλεγαν ότι ο Οϊλερ, σαν τον Αϊνστάιν, έχει μόνο τη διόραση. Εγώ θα έλεγα ότι έχει και κάτι παραπάνω, αλλά σίγουρα μια τέτοια άποψη δεν θα ήταν η επικρατούσα. Οι κορυφαίοι πάντως είναι σίγουρα ο Νεύτων και ο Αρχιμήδης, επειδή διέθεταν και τα δύο αυτά χαρακτηριστικά που προανέφερα».
Εσείς νιώθετε το μυαλό σας να διαφέρει από το μυαλό των δύο αυτών κορυφαίων επιστημόνων;
«Αυτοί κινούνται πλέον σε επίπεδα θεϊκά, είναι έξω από τα ανθρώπινα μέτρα. Και όμως ο Νεύτων είχε πει: "Δεν ξέρω τι εικόνα δείχνω στον κόσμο, εμένα μου φαίνεται ότι ποτέ δεν ήμουν τίποτε άλλο από ένα μικρό παιδί στην ακροθαλασσιά που κάθε τόσο έβρισκε ένα βότσαλο και πετώντας το στον μεγάλο ωκεανό της αλήθειας ανακάλυπτε κάτι σπουδαίο».
Οταν κάποιος σαν εσάς βρεθεί μπροστά στην ανακάλυψη αυτών των μεγάλων λύσεων, αποκτά άλλη αντίληψη για τον Θεό;
«Εμείς οι μαθηματικοί μπορούμε να δούμε μόνο μία άποψη του Θεού, αυτή μέσω των μαθηματικών. Ισως οι φιλόσοφοι να βλέπουν και τις δύο πλευρές του Θεού, αλλά δεν τις βλέπουν τόσο καλά όσο βλέπουμε εμείς τη μία. Εμείς βλέπουμε καλύτερα τη μία και οι ποιητές πολύ καλά την άλλη. Οι φιλόσοφοι υποτίθεται ότι τις βλέπουν και τις δύο, αλλά μάλλον πιο αμυδρά».
Μπορείτε να μου πείτε ποια πλευρά του Θεού βλέπετε εσείς;
«Για μένα ο Θεός είναι ο μουσικοσυνθέτης του Σύμπαντος... Αυτή η μεγάλη συμφωνία αποτελεί έκφραση μιας τέλειας αρμονίας. Σας είπα όμως ότι μπορώ να διαβάσω και τον Ομηρο και να αρχίσω να κλαίω τέτοια συγκίνηση με πιάνει από τη θέα της άλλης πλευράς του Θεού. Η μία όψη του Θεού κατοικεί στην αρχαία τραγωδία, στον Σαίξπηρ. Οχι ότι έχω κάποιο ιδιαίτερο ταλέντο για να καταλάβω αυτό που λέω διαβάζοντας Ευριπίδη ή Σαίξπηρ· απλώς το εισπράττω όπως όλοι οι άλλοι κοινοί άνθρωποι. Αποφεύγω βέβαια σε μεγάλες δόσης αυτή την πλευρά του Θεού, γιατί όπως σας είπα με βγάζει από τον δρόμο μου... Τα μαθηματικά είναι η ζωή μου, εκεί όπου έχω ταλέντο, και προσπαθώ να συναντιέμαι με αυτή την πλευρά του Θεού. Μέσω των μαθηματικών, όπου έχω κάποια ιδιαιτερότητα σε σχέση με τον μέσο άνθρωπο, αυτό που μπορώ να κάνω είναι προσεγγίζω αυτή την αρμονία που αντιπροσωπεύει την ύπαρξη του Θεού».
Η στιγμή που συλλαμβάνετε τη λύση ενός προβλήματος είναι μια στιγμή επικοινωνίας με τον Θεό;
«Οπωσδήποτε, διότι είναι ασφαλώς μια ενόραση. Θυμάμαι πολλές τέτοιες στιγμές. Μια τέτοια στιγμή συνάντησής μου με τον Θεό είναι όταν ανακάλυψα "το αναλλοίωτο στο άπειρο"! Σκέφτηκα πώς είναι δυνατόν κάτι τόσο αφηρημένο, κάτι το οποίο ανήκει εντελώς στον κόσμο των ιδεών, να είναι άμεσα συνδεδεμένο με κάτι που είναι μπροστά στα μάτια μου; Αυτές όμως οι ανακαλύψεις μπροστά στις ανακαλύψεις των μεγάλων δεν είναι τίποτε».
Αρα ο Νεύτωνας και ο Αρχιμήδης είχαν συνεχή επικοινωνία με τον Θεό, έτσι;
«Οπωσδήποτε. Εγώ νομίζω ότι υπάρχει μόνο η θεία χάρις, η οποία σου αποκαλύπτει κάτι. Κανείς δεν ανακάλυψε κάτι που να μην υπήρχε. Φευγαλέα ίσως βλέπεις περισσότερα πράγματα. Στην προσπάθεια όμως να τα κάνεις συγκεκριμένα, πολλά σου ξεφεύγουν και μένεις τελικά με λιγότερα».
Ποιον θεωρείτε σημαντικότερο; Τον Χόκινγκ ή τον Πενρόουζ;
«Τον Πενρόουζ».
Τότε γιατί είναι περισσότερο διάσημος ο Χόκινγκ;
«Διάσημος σε ποιους; Εχει σημασία πού και γιατί είσαι διάσημος... Η επιστημονική κοινότητα το ξέρει ότι ο Πενρόουζ, που είναι σήμερα 69 ετών, είναι ο πλέον σημαντικός στον τομέα του... Ο Χόκινγκ νομίζω ότι είναι διάσημος στον πολύ κόσμο που δεν ξέρει ή δεν μπορεί να ανακαλύψει το βάρος της επιστημονικής εργασίας του... Είναι τόσο διάσημος όχι για το έργο του όσο επειδή έχει αυτό το πρόβλημα της αναπηρίας».
Η εμμονή είναι καλός αγωγός που οδηγεί στη λύση;
«Η εμμονή σε κάνει να χτυπάς το κεφάλι σου στον τοίχο. Σου αποδεικνύει δηλαδή ολοένα και περισσότερο ότι υπάρχει ο τοίχος. (γέλια) Σου ενισχύει τη βεβαιότητα ότι εδώ υπάρχει δυσκολία πρόσβασης. Είναι όμως αναγκαία προϋπόθεση η εμμονή και η συγκέντρωση στην εμμονή, για να υπάρξει η επίλυση. Η διόραση μπορεί να συμβεί όταν είναι κανείς σ' αυτή τη κατάσταση πλέον. Και τότε εμφανίζεται αβίαστα εντελώς κάτι σαν θεία χάρις. Είναι σαν να σου λέει ο Θεός από ψηλά: "Αντε δες κι εσύ κάτι παραπάνω, γιατί αρκετά παιδεύτηκες για να δεις"... Αυτά. Νομίζω ότι αρκετά είπαμε». (γέλια)
Σας ευχαριστώ...
«Κι εγώ».
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΧΡΙΣΤΟΔΟΥΛΟΥ
*Ο Δημήτρης Χριστοδούλου γεννήθηκε στην Αθήνα το 1953. * Ηταν ακόμη μαθητής της Β' Λυκείου όταν οι «μαθηματικές» ανησυχίες του τον οδήγησαν στο Πανεπιστήμιο του Πρίνστον στις ΗΠΑ. Το 1970, σε ηλικία μόλις 18 χρόνων, θα πάρει μάστερ φυσικής. * Πολύ σύντομα θα έρθει και το διδακτορικό στον ίδιο κλάδο, το οποίο θα αποτελέσει το εφαλτήριο μιας λαμπρής πορείας. * Το 1971 ο Δημήτρης Χριστοδούλου γίνεται υπότροφος ερευνητής στο Τεχνολογικό Ινστιτούτο της Καλιφόρνιας και ένα χρόνο αργότερα καθηγητής στο Πανεπιστήμιο Αθηνών και επισκέπτης ερευνητής στο CERN της Γενεύης. * Το 1974 αποκτά τη θέση τού επισκέπτη ερευνητή και στο Διεθνές Κέντρο Θεωρητικής Φυσικής στην Τεργέστη, καθώς επίσης και στο Ινστιτούτο Max Planck του Μονάχου. * Η επιστημονική σταδιοδρομία του συνεχίζεται στο περιώνυμο Μαθηματικό Ινστιτούτο Courant, του Πανεπιστημίου της Νέας Υόρκης, όπου παίρνει τη θέση του έκτακτου μέλους. * Επειτα από σημαντική εργασία και σε άλλα πανεπιστήμια θα επιστρέψει το 1988 στο Ινστιτούτο Courant, αυτή τη φορά στη θέση του τακτικού καθηγητή. * Από τότε τα επιτεύγματα του Δημήτρη Χριστοδούλου στη θεωρία των μερικών διαφορικών εξισώσεων, της διαφορικής γεωμετρίας, της θεωρίας της γενικής σχετικότητας, των εξισώσεων του Αϊνστάιν, καθώς και της μηχανικής των στερεών έχουν υπάρξει ρηξικέλευθα. * Το 1992 εξελέγη τακτικός καθηγητής στο Μαθηματικό Τμήμα του Πανεπιστημίου του Πρίνστον και τον Ιούνιο του 1993 τιμήθηκε με το βραβείο MacArthur βραβείο που απονέμεται ετησίως σε διεθνείς προσωπικότητες των επιστημών και των τεχνών που προτίμησαν να παραμείνουν εκτός «επιστημονικού» κατεστημένου.
Οταν είστε μαζί με άλλους επιστήμονες της ειδικότητάς σας, τι συζητάτε;
«Ορισμένες φορές συζητάμε και απλά καθημερινά πράγματα. Οταν λέτε επιστήμονες, τι εννοείτε;».
Επιστήμονες, ερευνητές... τι να εννοώ; Εσείς τι εννοείτε όταν λέτε επιστήμονες;
«Υπάρχουν επιστήμονες και επιστήμονες... Ανάλογα με το τι επιστήμονες συζητούν μεταξύ τους, η συζήτηση αλλάζει... Αλλα πράγματα κυριαρχούν σε μια συζήτηση μαθηματικών και άλλα σε μια συζήτηση βιολόγων ή φυσικών... Οι μαθηματικοί, για παράδειγμα, όταν συζητάμε μεταξύ μας, έχουμε μια αίσθηση μια μανία, θα έλεγα αξιοκρατίας. Μας ενδιαφέρει πολύ το ποια είναι η ιεραρχία, ακόμη και ανάμεσα στους παλιότερους. Δηλαδή μπορεί πολλές φορές σε συζητήσεις να τεθεί, ας πούμε, το θέμα: "Ποιος ήταν πιο σημαντικός; Ο Οϊλερ ή ο Γκάους;". Τέτοια πράγματα μας απασχολούν... Μπορεί ώρες να μιλάμε και να διαφωνούμε, προκειμένου να βάλουμε τα ονόματα στη σωστή αξιολογικά σειρά».
Μια που το αναφέρατε... εσείς τι ψηφίζετε σε αυτές τις συζητήσεις: Γκάους ή Οϊλερ;
«Δεν έχει και τόσο σημασία... (γέλια) Ξέρετε, πάντα σε αυτές τις περιπτώσεις οι γνώμες διχάζονται... Αλλοι λένε ο Οϊλερ, άλλοι λένε ο Γκάους».
Σε ποια περίπτωση δεν υπάρχει διχογνωμία; Υπάρχει ένα όνομα που είναι ευρύτερα αποδεκτό;
«Εκεί όμως που όλοι συμφωνούν είναι ότι ο μεγαλύτερος σε αξία όλων είναι ο Αρχιμήδης. Προσωπικώς πάντως ανάμεσα σε Γκάους και Οϊλερ ψηφίζω Οϊλερ... Είμαι οϊλερικός δηλαδή». (γέλια)
Γιατί θεωρείτε τον Οϊλερ πιο σημαντικό από τον Γκάους;
«Βασικά έχει ασχοληθεί με πάρα πολλά πράγματα. Μπορεί οι αποδείξεις του να μην ήταν τόσο αυστηρές όσο ήταν του Γκάους, αλλά έχει ασχοληθεί με περισσότερα ζητήματα και ειδικά με τις διαφορικές εξισώσεις που είναι και το δικό μου πεδίο. Επίσης είναι αυτός που έγραψε τους νόμους της υδροδυναμικής, αντικείμενο που είναι στο πρόγραμμά μου για το εγγύς μέλλον. Εχω κάνει ήδη κάποιες εργασίες στον τομέα της υδροδυναμικής, αλλά σκοπεύω να ασχοληθώ ακόμη περισσότερο στο μέλλον».
Πιστεύετε ότι θα άλλαζε κάτι στην έρευνά σας αν συναντούσατε τον Οϊλερ από κοντά και τον συναναστρεφόσασταν και ως άνθρωπο;
«Αυτό δεν το ξέρω. Είναι όμως γεγονός ότι τον μεγάλο μαθηματικό τον βλέπει κανείς κυρίως μέσα από τα συγγράμματά του».
Και ως άνθρωπο;
«Και βέβαια... Εγώ διαβάζοντας τα συγγράμματά του καταλαβαίνω τον χαρακτήρα του, τις ευαισθησίες του... Αυτό που μου κάνει μεγάλη εντύπωση μελετώντας τα συγγράμματα του Οϊλερ είναι η φαντασία και η εφευρετικότητά του. Νομίζω ότι ο μόνος που τον ξεπερνάει σε φαντασία και εφευρετικότητα είναι ο Αρχιμήδης».
Το παν στα μαθηματικά είναι η φαντασία;
«Γενικότερα το μεγαλύτερο προσόν του ανθρώπου είναι η φαντασία. Οπως είπε και ο Βολταίρος, "υπήρχε μεγαλύτερη φαντασία στο κεφάλι του Αρχιμήδη απ' ό,τι στο κεφάλι του Ομήρου"».
Συμφωνείτε με τον Βολταίρο;
«Νομίζω, ναι».
Τι είναι η φαντασία;
«Δεν ξέρω...».
Μήπως φαντασία είναι η δύναμη να εφεύρεις κάτι που δεν υπάρχει;
«Δεν είναι ότι εφευρίσκει κανείς κάτι που δεν υπάρχει· είναι ότι ανακαλύπτει κάτι που ήδη υπάρχει και απλώς δεν έχει γίνει ακόμη αντιληπτό από τον κόσμο. Νομίζω ότι αυτό είναι η φαντασία: το όχημα που μας κάνει να συλλάβουμε το μέχρι στιγμής "μη αντιληπτό" και μέσω αυτού να υπερβούμε το ήδη "γνωστό" ως πραγματικότητα».
Χρειάζεται ειδική ικανότητα για να κάνουμε αυτού του είδους τις ανακαλύψεις; Είναι θέμα ικανοτήτων ή τύχης;
«Αυτό στη δική μου την περίπτωση γίνεται πάντα όταν είμαι σε μια κατάσταση λήθαργου. Είναι κάτι που το έχω διασταυρώσει ότι συμβαίνει και σε άλλους συναδέλφους μου. Ο φίλος και συνάδελφος Τσαρλς Φέφερμαν διακεκριμένος μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο του Πρίνστον λέει κι αυτός ακριβώς το ίδιο· ότι βασικά όταν είναι κανείς σε μια κατάσταση λήθαργου, δηλαδή είναι ξαπλωμένος στο κρεβάτι έχει ήδη κοιμηθεί, ξεκουραστεί, αλλά δεν έχει καλά καλά ξυπνήσει ακόμη , εκείνη την ώρα που όλα είναι ακόμη σκοτεινά, τον επισκέπτονται αυτές οι ανακαλύψεις... Είναι η στιγμή που μπορεί να συγκεντρωθεί κάποιος απολύτως, επειδή δεν έρχεται ακόμη σε επαφή με τα ερεθίσματα της καθημερινότητας... Η καθημερινότητα κακά τα ψέματα σου αποσπά την προσοχή. Ο Φέφερμαν λέει ότι έχει παρατηρήσει πως σε τέτοιες στιγμές μπορεί να φανταστεί και να ανακαλύψει πολύπλοκα γεωμετρικά σχήματα και τύπους, τα οποία την επόμενη μέρα μπορεί να καθήσει να τα γράψει και να βγουν, ας πούμε, 25 σελίδες. Το ίδιο κι εγώ. Και το περίεργο είναι ότι σε αυτές τις περιπτώσεις δεν κάνω ποτέ λάθος όταν μεταφέρω τις ανακαλύψεις μου στο χαρτί την επόμενη μέρα. Ενώ κατά τη διάρκεια της ημέρας ό,τι κι αν προσπαθήσω να συλλάβω ή θα κωλώσω κάποια στιγμή ή θα κάνω κάποιο λάθος... Δεν ξέρω γιατί συμβαίνει αυτό... Δεν ξέρω γιατί, αλλά η φαντασία δεν έχει την ίδια ένταση όταν αναπτύσσεται στο πλαίσιο της καθημερινότητας... Η φαντασία στην κατάσταση που περιέγραψα λίγο πριν ανθεί... Ο λήθαργος αυτός είναι το καταλληλότερο περιβάλλον για να αναπτυχθεί η φαντασία».
Η φαντασία δηλαδή ευδοκιμεί στο σκοτάδι...
«Και, σας λέω, δεν συμβαίνει μόνο σε μένα αυτό. Πρέπει να είναι κάτι πολύ πιο γενικό. Απλώς φαίνεται ότι ο κόσμος δεν μιλάει τόσο πολύ γι' αυτό ή δεν το παρατηρεί εύκολα».
Αρα, τελικά, ο κύριος αντίπαλος της φαντασίας είναι η καθημερινότητα.
«Ακριβώς, η καθημερινότητα. Κατά τη διάρκεια της κάθε ημέρας έχει κανείς πολλές εντυπώσεις, από τις οποίες δεν είναι όλες σημαντικές. Μέσα στην καθημερινότητα για να συναντηθεί κανείς με το "σημαντικό" πρέπει να έχει τη δυνατότητα της επιλογής. Η επιλογή είναι πολύ χρήσιμη, αλλά είναι και ιδιαίτερα πολύπλοκη ως διαδικασία... Η πολυπλοκότητα αυτής της διαδικασίας επιλογής αναστέλλει σε μεγάλο βαθμό τη φαντασία. Γι' αυτό η φαντασία λειτουργεί καλύτερα την ώρα που σας περιέγραψα λίγο πριν... Εκείνη την ώρα κατά την οποία συγκεντρωνόμαστε μόνο σε αυτά που έχουν νόημα για μας... Σε τέτοιες στιγμές η φαντασία αποθεώνεται».
Τελικώς, οι λύσεις σπάνιων μαθηματικών προβλημάτων είναι θέμα φαντασίας; Θα μπορούσαμε να πούμε ότι η φαντασία είναι το λυσάρι αυτών των προβλημάτων;
«Σίγουρα η φαντασία στα μαθηματικά παίζει πολύ σημαντικό ρόλο, κι ας θεωρούνται τα μαθηματικά επιστήμη, επειδή βρίσκουν εφαρμογή στον χώρο των φυσικών επιστημών. Στα μαθηματικά υπάρχουν δύο χώροι. Στον έναν στον οποίο ανήκω κι εγώ οι μαθηματικές ανακαλύψεις βρίσκουν εφαρμογή και στις φυσικές επιστήμες... Υπάρχει όμως και ένας χώρος στα μαθηματικά εξίσου σημαντικός όπου οι όποιες λύσεις δεν φαίνεται να έχουν κάποια εφαρμογή. Σε αυτό το κομμάτι ο πιο διάσημος είναι ο φίλος μου και συνάδελφός μου στο Πρίνστον, ο Γουάιλς, ο οποίος έλυσε το περίφημο πρόβλημα του Φερμάτ. Ενα πρόβλημα που παρέμενε άλυτο επί 350 χρόνια».
Τώρα που λύθηκε, έχετε καταλάβει γιατί επί τόσα χρόνια παρέμενε άλυτο;
«Μα δεν ήταν το μόνο. Στα μαθηματικά υπάρχουν πολλά τέτοια άλυτα προβλήματα. Ακόμη και από την εποχή του Ευκλείδη υπάρχουν προβλήματα στα οποία δεν έχει δοθεί λύση, που σημαίνει ότι παραμένουν άλυτα 2.300 χρόνια».
Μπορείτε να μου πείτε ένα τέτοιο μαθηματικό πρόβλημα, απλό αλλά άλυτο;
«Αν, για παράδειγμα, "οι τέλειοι αριθμοί είναι άπειροι στο πλήθος". Οι τέλειοι αριθμοί είναι μεταξύ των θετικών ακεραίων. Για κάθε αριθμό εξετάζουμε ποιοι είναι οι διαιρέτες του. Για παράδειγμα, το 6 διαιρείται από το 1, το 2 και το 3. Και το 6 βέβαια, αλλά δεν λαμβάνουμε υπόψη μας τον ίδιο τον αριθμό, ενώ λαμβάνουμε υπόψη μας το 1. Ενας αριθμός λέγεται τέλειος όταν το άθροισμα των διαιρετών του ισούται με τον ίδιο τον αριθμό. Το 6, ας πούμε, είναι τέλειος αριθμός, γιατί 1+2+3=6. Το 4 δεν είναι, διότι διαιρείται από το 1 και το 2 (1+2=3). Ενας άλλος τέλειος είναι το 28 (1+2+4+7+14=28). Ο Ευκλείδης λοιπόν βρήκε έναν τύπο για όλους τους τέλειους αριθμούς οι οποίοι είναι ζυγοί και έκτοτε έχουν παραμείνει άλυτα δύο προβλήματα. Το ένα είναι "αν υπάρχουν και μονοί τέλειοι αριθμοί" πρόβλημα άλυτο ως σήμερα και το δεύτερο "αν αυτοί οι ζυγοί είναι άπειροι στο πλήθος ή πεπερασμένοι"».
Υπάρχουν άλυτα προβλήματα στη ζωή;
«Οχι... Υπάρχουν προβλήματα που δεν έχουμε ακόμη βρει τις λύσεις τους... Για μένα όλες οι λύσεις υπάρχουν, απλώς κάποιες δεν τις έχουμε ανακαλύψει ακόμη... Συχνά η καθημερινότητα σκεπάζει τις λύσεις και δεν μας αφήνει να τις δούμε».
Ο,τι συλλαμβάνουμε μέσω της φαντασίας πιστεύετε ότι μπορεί να γίνει πραγματικότητα;
«Ναι. Αλλωστε για να το συλλάβει η φαντασία μας σημαίνει ότι ήταν ήδη μια πραγματικότητα την οποία απλώς εμείς αγνοούσαμε. Αυτό είναι πολύ απλό να αποδειχθεί και προσωπικά έχω παραδείγματα από τη δική μου την έρευνα που αποδεικνύει του λόγου μου το αληθές».
Θέλετε να γίνετε λίγο πιο συγκεκριμένος;
«Κάποτε είχα συλλάβει με τη φαντασία μου μια γεωμετρική θεωρία, η οποία, ενώ δεν φαινόταν να έχει σχέση με την πραγματικότητα, αργότερα ανακάλυψα ότι περιγράφει τους κρυστάλλους που έχουν ατέλειες. Νωρίτερα προτού ανακαλύψω εγώ τη συγκεκριμένη γεωμετρική θεωρία μπορούσε κανείς να θεωρήσει ότι, εφόσον κάποιοι κρύσταλλοι έχουν ατέλειες, δεν μπορεί να υπάρξει σε σχέση με αυτούς μαθηματική θεωρία. Και όμως οι ατελείς κρύσταλλοι παρουσιάζουν μια αρμονία ανώτερη των τέλειων, όπως αποδείχθηκε. (γέλια) Οι άνθρωποι ακόμη και σε ό,τι αφορά την κοινωνία νομίζουν ότι κάτι που είναι ατελές δεν μπορεί να έχει μια αρμονία. Και όμως να που αποδεικνύεται το αντίθετο μαθηματικά. Οπως έχει αποδειχθεί και ότι μια απλούστατη μαθηματική κατασκευή μπορεί να οδηγήσει σε ένα δημιούργημα το οποίο έχει μια εντελώς απίθανη πολυπλοκότητα και αρμονία στη δομή του. Και αυτό δεν είναι εξίσου περίεργο;».
Πώς το εξηγείτε εσείς αυτό;
«Δεν μπορώ να το εξηγήσω. Η εξήγηση δεν βρίσκεται στον χώρο των μαθηματικών, αλλά στον χώρο της φιλοσοφίας και ακόμη πιο πέρα».
Πώς εξηγείτε το γεγονός ότι συλλάβατε κάτι για το οποίο ήσασταν σχεδόν σίγουρος ότι δεν υφίστατο και με τον καιρό αποδείχθηκε τελικά το αντίθετο; Πώς εξηγείτε δηλαδή ότι το μυαλό προηγείται της πραγματικότητας;
«Βασικά σε αυτό το σημείο εγώ είμαι πλατωνιστής. Πιστεύω δηλαδή ότι προϋπάρχει αυτός ο κόσμος των ιδεών, ότι το μυαλό μας έρχεται σε επαφή με αυτό τον κόσμο και ο πραγματικός κόσμος σχετίζεται ή μάλλον απορρέει από αυτόν».
Κάθε φορά που συλλαμβάνετε κάτι με μαθηματικό τρόπο δεν νιώθετε την ανάγκη να το αποδείξετε και πειραματικά;
«Βεβαίως με ενδιαφέρει να αποδειχθεί κάτι που συλλαμβάνω και πειραματικά. Αλλά θεωρώ ότι το ταλέντο μου, η ικανότητα που έχω, είναι κατ' αρχάς στο να επιλύω μαθηματικά προβλήματα. Αντίθετα, κάποιοι άλλοι έχουν μεγαλύτερο ταλέντο στην εφαρμογή των μαθηματικών λύσεων».
Φοβερή εξειδίκευση... Η τόση εξειδίκευση οδηγεί στην ευτυχία; Μιλάω για την προσωπική ευτυχία και όχι για την επαγγελματική χρησιμότητα.
«Ναι, καταλαβαίνω τι θέλετε να πείτε... Η εξειδίκευση δεν είναι ό,τι καλύτερο, αν και πολύ αναγκαίο... Εγώ προσπαθώ να καταπιαστώ με περισσότερους τομείς για να μην εγκλωβιστώ προσωπικώς στην πλήξη της μονομανίας και της εξειδίκευσης. Υπάρχουν άλλοι, οι οποίοι εξειδικεύονται όχι μόνο στα μαθηματικά γενικά, αλλά σε ένα μικρό κομματάκι των μαθηματικών, αδιαφορώντας για οτιδήποτε άλλο. Για να βραβευθεί κανείς με το βραβείο Βôcher αναγκαία προϋπόθεση είναι να έχει μια ουσιαστική συνιστώσα αναλύσεως».
Εσείς πιστεύετε ότι η εξειδίκευση βοηθάει να πλησιάσουμε στην αλήθεια;
«Η αλήθεια προσεγγίζεται μόνο μέσω της φαντασίας... Δεν έχει να κάνει με την εξειδίκευση ή οτιδήποτε άλλο. Ο μόνος δρόμος που μας οδηγεί στην αλήθεια είναι η φαντασία... Βλέπει κανείς ότι συνήθως αυτοί που κάνουν τις μεγάλες ανακαλύψεις δεν είναι και πολύ ειδικοί. Απλώς είναι άνθρωποι που κάνουν απίθανους συνδυασμούς για να καταλήξουν σε μια ανακάλυψη. Οι μεγάλες ανακαλύψεις χρειάζονται πάντοτε κάποιο συνδυασμό, μια ιδέα που έρχεται από αλλού. Από έναν άλλο χώρο που κανείς δεν περιμένει ότι μπορεί να βοηθήσει στην επίλυση ενός προβλήματος. Ας πάρουμε ως κορυφαίο παράδειγμα το έργο του Αρχιμήδη. Ξέρετε πώς μέτρησε τον όγκο της σφαίρας... Θα νόμιζε κανείς ότι εφάρμοσε κάποια άπειρη μέθοδο σε συνδυασμό με γεωμετρία. Κι όμως εδώ βλέπει κανείς τη φαντασία του Αρχιμήδη. Σκέφτηκε κάτι που προερχόταν από τον χώρο της μηχανικής ανισορροπία βαρών. Αδύνατον να το σκεφτεί ένας ειδικός στη γεωμετρία. Ο όγκος της σφαίρας, που είναι καθαρά γεωμετρικό πρόβλημα, έχει να κάνει με μια ισορροπία βαρών, η οποία σχετίζει τη σφαίρα με τον κύλινδρο και με τον κώνο. Και μέσα από τη σχέση αυτή των τριών βρίσκουμε τον όγκο της σφαίρας. Γι' αυτό σας λέω ότι η ανακάλυψη της αλήθειας είναι ζήτημα φαντασίας... Μιας φαντασίας του μεγέθους του Αρχιμήδη. Αλλωστε αυτό συμβαίνει και στη ζωή... Εχουμε ένα πρόβλημα... Συχνά η λύση του προβλήματος έρχεται από κάπου που δεν το περιμένουμε. Για αυτό και στη ζωή αυτοί που λύνουν πιο αποτελεσματικά τα προβλήματά τους είναι αυτοί που έχουν πάντοτε σύντροφό τους τη φαντασία... Οι λύσεις και οι ανακαλύψεις είναι ζήτημα ικανότητας συνδυασμών».
Εσείς που το έχετε καταλάβει αυτό ζείτε καλύτερα; Δηλαδή μπροστά μου τώρα έχω έναν άνθρωπο που έχει ανακαλύψει το μυστικό της ζωής;
«Δεν νομίζω. Στην περίπτωσή μου περισσότερο αισθάνεται κανείς σαν τους μοναχούς παρά σαν τους κοινούς ανθρώπους. Για το μόνο που μπορώ να πω ότι νιώθω καλά είναι το ότι επέλεξα να ζω όπως ζω. Χρειάζεται τόσο μεγάλη συγκέντρωση αυτό που κάνω που σιγά σιγά, χωρίς να το καταλάβεις, απομακρύνεσαι από τη ζωή. Χρειάζομαι πολλές ώρες αφοσίωσης».
Πώς γίνεται ένας επιστήμονας σαν εσάς που ζει απομονωμένος από τη ζωή να περιγράφει τόσο καλά τα μυστικά της ζωής;
«Ισως ακριβώς επειδή ο επιστήμονας δεν είναι τόσο πολύ μέσα στη ζωή μπορεί να τη βλέπει από κάποια απόσταση... Πρέπει να κρατάς μια απόσταση από το γεγονός της ζωής για να το δεις στις πραγματικές διαστάσεις του. Δεν έχετε προσέξει ότι όταν ζούμε κάποιες στιγμές δυστυχίας μπορούμε να δούμε με μεγαλύτερη σαφήνεια αυτό που λέμε ευτυχία; Οταν ζεις μια ευτυχισμένη στιγμή, δεν μπορείς να μιλήσεις για αυτή... Χρειάζεται απόσταση για να δούμε τις αληθινές διαστάσεις της ζωής».
Αρα η αφοσίωση του επιστήμονα τον βγάζει από τη ζωή γενικότερα, αλλά τον βοηθάει να δει την αληθινή της διάσταση... Αλήθεια, τι είναι προτιμότερο να είσαι απών αλλά να ξέρεις την αλήθεια ή να είσαι παρών και να την αγνοείς;
«Δεν μπορώ να απαντήσω σε αυτό το ερώτημα... Μπορώ όμως να σας πω ότι αυτό το οποίο σε βοηθάει η αφοσίωση να ανακαλύψεις είναι το μισό, δεν είναι το όλον. Γιατί υπάρχει και το άλλο μισό που είναι ο κόσμος των συναισθημάτων, στον οποίο ένας μαθηματικός, ένας επιστήμονας, δεν έχει τίποτε να πει. Νομίζω ότι οι ποιητές και οι μουσικοί ασχολούνται με το άλλο μισό της ζωής, που είναι ο κόσμος των συναισθημάτων».
Μα οι περισσότεροι μουσικοί είναι μαθηματικοί. Πώς το εξηγείτε αυτό;
«Ναι, εκεί υπάρχει κάποια προσέγγιση, αυτό είναι αλήθεια. Η αντίθεση για μένα είναι περισσότερο σε σχέση με την ποίηση παρά με τη μουσική. Η ποίηση έχει να κάνει καθαρά με την άλλη πλευρά του κόσμου, τη συναισθηματική».
Ενα λεπτό... Αν το μισό της ζωής είναι ο κόσμος των συναισθημάτων, το άλλο μισό ποιο είναι;
«Κοιτάξτε, ο κόσμος έχει δύο διαστάσεις: Η μία είναι το Σύμπαν, το οποίο χαρακτηρίζεται από μια αρμονία. Την αρμονία αυτή εμείς τη βλέπουμε ως μια μεγάλη συμφωνία, η οποία είναι μαθηματική συμφωνία. Η ποίηση όμως πιάνει μια άλλη διάσταση του κόσμου. Γι' αυτό σας είπα προηγουμένως ότι ο κόσμος είναι δύο πράγματα· ένα το οποίο το καταλαβαίνουμε εμείς οι μαθηματικοί και ένα άλλο, το οποίο το καταλαβαίνουν οι ποιητές».
Εσείς δεν καταλαβαίνετε την ποίηση;
«Ως άνθρωπος δεν μπορώ να πω ότι είμαι μόνο μαθηματικός. Ας πούμε, ο Ομηρος με συγκινεί πάρα πολύ. Απλώς φροντίζω να μην επιτρέπω στον εαυτό μου να παθαίνω πολύ συχνά αυτό που παθαίνω διαβάζοντας Ομηρο».
Γιατί;
«Γιατί όταν διαβάζω Ομηρο συγκινούμαι πάρα πολύ και αυτό με απομακρύνει ίσως από τον προορισμό μου, που είναι τα μαθηματικά».
Στην Αθήνα γεννηθήκατε;
«Ναι, εδώ στην Αθήνα. Μεγάλωσα στο Παγκράτι».
Μιλάτε σαν ένας άνθρωπος που μεγάλωσε μέσα στη φύση... Αλήθεια, πότε ανακαλύψατε αυτό το ταλέντο σας στα μαθηματικά;
«Μου πήρε πολύ καιρό. Το ανακάλυψα τον Δεκέμβριο του '77. Ημουν τότε 26 ετών. Αλλά να σκεφτείτε ότι το διδακτορικό μου δίπλωμα το είχα πάρει πολύ πιο πριν, στα 19».
Στα 19; Πώς γίνεται αυτό;
«Δεν ξέρω, εξαρτάται από το πώς μετράει κανείς τις ηλικίες. Εγώ στα 19 είχα πάρει το διδακτορικό μου».
Οι γονείς σας τι δουλειά έκαναν;
«Ο πατέρας μου ήταν ασφαλιστής και η μητέρα μου στο σπίτι, νοικοκυρά».
Μικρός υπήρξατε ένα συνηθισμένο παιδί σαν όλα τ' άλλα;
«Κοιτάξτε, είναι πολλά πράγματα που δεν τα θυμάμαι και τόσο καλά. Ο Ηράκλειτος δεν έλεγε ότι δεν μπορεί να μπει κανείς δύο φορές στο ίδιο ποτάμι; Ολα αλλάζουν και εγώ νομίζω ότι δεν είμαι καθόλου ο ίδιος άνθρωπος με τότε που ήμουν παιδί και έφηβος. Καμιά φορά, όταν μετακομίζω, ας πούμε, τυχαίνει να πέσει στα χέρια μου κάποια παλιά εργασία και μου είναι αδύνατον να πιστέψω ότι την έγραψα εγώ. Ούτε καν ο γραφικός χαρακτήρας δεν μοιάζει. Θέλω να πω πως ό,τι κι αν σας πω για τότε για τα παιδικά και εφηβικά μου χρόνια θα είναι σίγουρα ιδωμένο μέσα από το πρίσμα τού σήμερα. Νομίζω ότι ήμουν ένα παιδί εντελώς νορμάλ ως την ηλικία των 14 ετών».
Ησασταν καλός μαθητής;
«Καλούτσικος».
Σε δημόσιο σχολείο πηγαίνατε;
«Οχι, πήγαινα στη Σχολή Μωραΐτη και είχα μια έφεση στον αθλητισμό, και ειδικά στην ενόργανη. Κάποια στιγμή, γύρω στα 14 ενώ είχα τελειώσει την Γ' Γυμνασίου περιέργως πώς ενδιαφέρθηκα πάρα πολύ για ένα πρόβλημα ευκλείδειας γεωμετρίας. Εκείνο που δεν μπορώ να καταλάβω ακόμη και τώρα που το σκέφτομαι εκ των υστέρων είναι για ποιο λόγο εκείνο το πρόβλημα μου δημιουργούσε μια τέτοια ανάγκη μελέτης, η οποία για μένα ήταν κάτι το απίθανο τότε. Εκείνο το καλοκαίρι διάβασα την ύλη όλων των επόμενων τάξεων του Γυμνασίου στον χώρο των μαθηματικών αλλά και της φυσικής. Είναι κάτι το οποίο ακόμη και τώρα δεν μπορώ να εξηγήσω».
Λέτε αυτό να είναι το ταλέντο; Η φανέρωση μιας ανεξήγητης έλξης για κάτι;
«Δεν ξέρω, ίσως. Η ατυχία πάντως είναι η εξής: Στη μετέπειτα πορεία μου, ως την ηλικία των 26 ετών, είχα στραφεί προς τη φυσική και ιδίως σε μια προσέγγιση της φυσικής για την οποία δεν είχα ιδιαίτερο ταλέντο. Το δικό μου ταλέντο είναι τα μαθηματικά, αλλά ως τα 26 μου δεν το ήξερα. Μπορεί και οι τωρινές εργασίες μου να έχουν επίδραση στη φυσική, αλλά μόνο μέσω των μαθηματικών οδηγούμαι στη φυσική. Αυτό, παρ' όλο που με τη γνώση που έχω τώρα είναι σαφές, τότε δεν το είχα καταλάβει».
Πώς και δεν το είχατε καταλάβει;
«Τι να σας πω, δεν ξέρω... Ξέρετε, συχνά οι γύρω μπερδεύουν την ευκολία που έχει ένα παιδί σε κάτι με το έμφυτο ταλέντο. Φαίνεται ότι σε κάποιο βαθμό οι έξω μπορεί να τα μπέρδεψαν αυτά τα δύο στην περίπτωσή μου. Πολλά από τα προβλήματα με τα οποία έρχεται αντιμέτωπος ένας θεωρητικός φυσικός μπορεί να τα λύσει χρησιμοποιώντας πολύ περισσότερο το ταλέντο των μαθηματικών. Εγώ πάντοτε έτσι τα έλυνα, μέσω των μαθηματικών. Αυτό όμως δεν το είχαν προσέξει οι καθηγητές μου και έτσι μπήκα σε ένα δρόμο καθαρά φυσικής χωρίς να έχω το έμφυτο ταλέντο του φυσικού... Τους εντυπωσίαζε η αποτελεσματικότητά μου στη λύση διαφόρων προβλημάτων της φυσικής, αλλά αγνοούσαν ότι εγώ επέλυα αυτά τα προβλήματα με μαθηματικό τρόπο. Κάποια στιγμή όμως, μη έχοντας ταλέντο στη φυσική, έφτασα σε ένα τέλμα, στο οποίο έμεινα κολυμπώντας ασκόπως για κάμποσα χρόνια. Βλέποντας ότι δεν πάω πουθενά, άρχισα να νιώθω φοβερή μελαγχολία. Ωσπου ξαφνικά το '76 πήγα στη Γερμανία και συνάντησα ένα θεωρητικό φυσικό, ο οποίος είχε λατρεία με τα μαθηματικά. Αυτός κατάλαβε αμέσως το έμφυτο ταλέντο μου. "Εσένα", μου είπε, "το ταλέντο σου είναι τα μαθηματικά. Προσεγγίζεις τη φυσική μέσω των μαθηματικών". Και μου έδωσε να μελετήσω ένα πρόβλημα την ακτινοβολία βαρύτητος αυτού του διπλού συστήματος των αστέρων το οποίο ήταν άμεσα συνδεδεμένο με την εργασία που με οδήγησε και στο βραβείο Bocher. Η εργασία αυτή ξεκίνησε το '77, συμπληρώθηκε το '90 και δημοσιεύτηκε το '93. Δηλαδή η λύση δόθηκε 13 χρόνια μετά. Το έναυσμα πάντως δόθηκε από αυτόν τον Γερμανό, τον Ελερς, ο οποίος με παρότρυνε να ασχοληθώ με αυτό και να διαβάσω κάποια συγκεκριμένα βιβλία μαθηματικών. Τα βιβλία αυτά που διάβασα τότε είναι αυτά που διδάσκω σήμερα στους τριτοετείς προπτυχιακούς. Μόλις έπεσαν στα χέρια μου αυτά τα βιβλία είπα: "Εδώ είμαστε... αυτό είναι". Διότι αυτό ήταν το φυσικό μου ταλέντο. Μέσα σε τέσσερα χρόνια, από το τέλος του '77 ως το '81, πήρα το πρώτο μου βραβείο στα μαθηματικά».
Επειτα από εκείνο το καλοκαίρι που πέσατε με τα μούτρα στα μαθηματικά συνεχίσατε πηγαίνοντας κανονικά στην Δ' Γυμνασίου;
«Ναι, τελειώνω την τετάρτη, πηγαίνω και στην πέμπτη, αλλά στα μισά της πέμπτης τάξης φεύγω».
Πώς πάτε;
«Στα μισά της πέμπτης οι γονείς μου, μέσω ενός φίλου τους, ήρθαν σε επαφή με τον Αχιλλέα Παπαπέτρου, ο οποίος ήταν καθηγητής στο Παρίσι και φίλος του Γουίλερ. Ο Γουίλερ είχε έρθει ένα διάστημα στο Παρίσι με άδεια και έτσι ο Παπαπέτρου μάς σύστησε».
Δηλαδή οι γονείς σας είχαν ήδη συνειδητοποιήσει ότι «το παιδί μας έχει κάτι που πρέπει πάση θυσία να το βοηθήσουμε να το καλλιεργήσει»...
«Σωστά... Αφού θυμάμαι ότι εκείνο, το πρώτο καλοκαίρι που με έπιασε αυτή η μανία με τα μαθηματικά δεν με ενδιέφερε ούτε και να φάω ακόμη. Και τώρα όμως μπορώ πολύ εύκολα να απορροφηθώ. Να σας πω ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα. Το ρολόι που φοράω κουρδίζεται με την κίνηση του χεριού μου. Μου έχει τύχει να καθήσω συγκεντρωμένος και εντελώς ακίνητος τόσο πολλή ώρα που να σταματήσει, να ξεκουρδιστεί. Το ρολόι αυτό αν δεν κινηθεί για δεκαοκτώ ώρες περίπου σταματάει. Και αυτό που σας λέω έχει γίνει, δεν είναι υπερβολή».
Ολη αυτή η αλλαγή στη ζωή σας σας είχε τρομάξει; Το ότι δηλαδή βρεθήκατε στο Παρίσι στα 16 σας να σπουδάζετε πώς το αντιμετωπίσατε;
«Δεν θυμάμαι ακριβώς. Τότε είχα μια μεγάλη τρέλα, ήθελα να φύγω, να γνωρίσω τον κόσμο... Η Ελλάδα για μένα ήταν πολύ μικρή. Παιδιά τότε, εκείνη την εποχή, η Αμερική ήταν για μας ένας κόσμος μυθώδης που τον βλέπαμε μόνο στα έργα. Οταν τον γνώρισα βέβαια και στη συνέχεια, τα είδα αλλιώς τα πράγματα».
Για έναν άνθρωπο σαν κι εσάς είναι πιο σημαντική η στιγμή της επίλυσης ενός προβλήματος από τη διαδικασία αναζήτησης της λύσης;
«Το ταξίδι είναι οπωσδήποτε το σημαντικότερο. Γιατί; Γιατί αυτή η διαδρομή είναι που μετράει, όλη αυτή η πορεία. Οσο διαρκεί αναπτύσσονται μέθοδοι, οι οποίες στο μέλλον θα βοηθήσουν άλλους ανθρώπους να λύσουν κάποια άλλα προβλήματα, τα οποία μπορεί να είναι σημαντικότερα από αυτό που λύθηκε. Απλώς το κάθε πρόβλημα που ζητάει λύση είναι μια μεγάλη πρόκληση. Σαν έχεις να ανέβεις το Εβερεστ είναι το κάθε πρόβλημα. Πάντοτε έτσι γίνεται· οι μέθοδοι που δοκιμάζεις για να το λύσεις είναι πάντοτε πιο σημαντικές από το ίδιο το πρόβλημα. Ενα πολύ καλό παράδειγμα αυτού που σας λέω θα ήταν η λύση του προβλήματος της κινήσεως δύο σωμάτων από την αμοιβαία βαρυτική έλξη, που έλυσε ο Νεύτων. Για να λύσει το πρόβλημα αυτό ο Νεύτωνας, έπρεπε να αναπτύξει τον διαφορικό λογισμό, ο οποίος στην κυριολεξία έφερε τα πάνω κάτω».
Αλήθεια, τι πιστεύετε ότι είναι τελικά το ταλέντο; Γεννιόμαστε με αυτό;
«Δεν ξέρω αν γεννήθηκα με το μαθηματικό ταλέντο ή αν εμφανίστηκε αργότερα. Πάντως κάποια στιγμή, όπως σας είπα, το συνειδητοποίησα...».
Εχετε σκεφθεί πως θα μπορούσε να έχει συμβεί κάτι και να μην είχατε ανακαλύψει το ταλέντο σας;
«Δεν το πιστεύω. Γιατί έχει κανείς τέτοια παθιασμένη διάθεση να πάει προς το ταλέντο του ώστε δεν γίνεται να μην πάει. Νομίζω ότι το ίδιο συμβαίνει και με ένα ζωγράφο· τον τρώει το χέρι του». (γέλια)
Αρα η ύπαρξη του ταλέντου οδηγεί στην ανακάλυψή του.
«Ναι... νομίζω ότι έτσι πρέπει να είναι».
Αρα το ταλέντο μάς οδηγεί στη ζωή. Εσάς το ταλέντο σάς οδήγησε στον καθηγητή Ελερς;
«Α, δεν ξέρω. Εκεί ήταν ίσως και η ευτυχής συγκυρία. Γιατί υπήρχε ένας ολόκληρος κόσμος ο οποίος ήταν άγνωστος για μένα. Δεν ήξερα καν ότι υπάρχει αυτή η επιστήμη. Και μόλις την ανακάλυψα, είπα: "Εδώ είμαι". Αυτό για το οποίο είμαι βέβαιος είναι ότι αργά ή γρήγορα θα ανακάλυπτα ό,τι κι αν γινόταν το ταλέντο μου».
Νιώθετε επαγγελματίας;
«Οχι... Εγώ αυτό που κάνω είναι η ζωή μου. Ενας επαγγελματίας πάει στη δουλειά του, κάνει ό,τι κάνει και όταν σχολάει κατεβάζει τα ρολά... Εγώ, ακόμη κι όταν είμαι ξαπλωμένος, ακόμη κι όταν κοιμάμαι, δεν μπορώ να ξεφύγω από αυτό που με απασχολεί. Ακόμη και κάνοντας μια βόλτα στην παραλία, παρ' όλο που το περιβάλλον είναι πολύ ωραίο, μέσα μου γεννιούνται ορισμένες σκέψεις, πάντα σε σχέση με αυτό που με απασχολεί στην έρευνά μου. Ειδικά τώρα που ασχολούμαι με την υδροδυναμική, η θέα της θάλασσας με κάνει, ας πούμε, να σκέφτομαι τους στροβιλισμούς του νερού. Οπότε, όπως καταλαβαίνετε, πάει αλλού το μυαλό μου συνεχώς. Ζω πολύ με αυτές τις έμμονες ιδέες μου και μπορώ να πω ότι με τον καιρό χειροτέρεψα. Καμιά φορά προσπαθώ να ξεφύγω διαβάζοντας, ας πούμε, λίγο Ομηρο ή αρχαία τραγωδία. Αυτά όμως με βγάζουν τελείως από τις σκέψεις μου, όπως σας είπα».
Οσο περνά ο καιρός, τελικά γίνεστε πιο απόλυτος ή πιο επιλεκτικός;
«Γίνομαι όλο και πιο απόμακρος. Ας πούμε, στο παρελθόν μπορεί να ήμουν ένας μοναχός στο Αγιον Ορος, από αυτούς που μένουν στα μοναστήρια. Γιατί στο Αγιον Ορος, όπως ξέρετε, υπάρχουν οι ασκητές και υπάρχουν και οι ερημίτες. Αν λοιπόν πριν ήμουν απλώς ασκητής, τώρα έχω προχωρήσει προς τον ερημίτη». (γέλια)
Ο ερημίτης συναντιέται με την ευτυχία; Ο ερημίτης επιζητεί την ευτυχία;
«Το ζητούμενο του ερημίτη είναι η αναγνώριση της προσπάθειάς του, η ικανοποίησή του μέσω αυτής της αναγνώρισης, νομίζω. Ενα βραβείο όπως αυτό που πήρα εγώ μπορεί να είναι μια απόδειξη αυτής της αναγνώρισης».
Σας έχει απασχολήσει η μετέπειτα εκμετάλλευση μιας λύσης ενός προβλήματος την οποία έχετε δώσει εσείς; Τι θα κάνατε αν αντιλαμβανόσασταν ότι η πιθανή δική σας επιστημονική ανακάλυψη χρησιμοποιείτο εναντίον του ανθρώπου;
«Αυτό που λέτε μπορεί να συμβεί μετά. Νομίζω ότι ο μαθηματικός είναι δύο βήματα πριν».
Σύμφωνοι· αλλά αν αυτό το πράγμα το γνωρίζατε ως πιθανότητα να συμβεί μετά, τι θα κάνατε; Θα συνεχίζατε την έρευνά σας;
«Νομίζω ότι δεν μπορείς να σταματήσεις την έρευνα. Αλλωστε ό,τι καταστρέφει τον άνθρωπο, τον ευεργετεί. Η χρήση εναπόκειται στους ανθρώπους... Βέβαια, αν κάποιος επιστήμονας ήταν σίγουρος ότι η όποια ανακάλυψή του θα είχε μόνο κακές συνέπειες για τους ανθρώπους, τότε θα ήταν καλύτερα να μην επιχειρήσει την ολοκλήρωση των ερευνών του. Ευτυχώς εμείς οι μαθηματικοί είμαστε, νομίζω, τόσο μακριά από όλα αυτά. Γιατί ο κόσμος μας είναι περισσότερο ένας κόσμος ιδεών. Από εκεί και πέρα υπάρχει η προσέγγιση με τη φυσική πραγματικότητα, οπότε μπαίνουμε πλέον στον χώρο των φυσικών επιστημών και μετά ακολουθεί η εφαρμογή. Στον 20ό αιώνα πάντως έχουμε δει επιστήμονες οι οποίοι ήρθαν αντιμέτωποι με αυτό το δίλημμα, διότι ασχολήθηκαν με πράγματα που έχουν να κάνουν με τις φυσικές επιστήμες από τη μία και με την εφαρμογή τους από την άλλη. Ο Τζον Γουίλερ, έχοντας ασχοληθεί με την ατομική ενέργεια και τα ατομικά όπλα, οπωσδήποτε θα βρέθηκε μπροστά σε αυτό το δίλημμα, το οποίο σίγουρα θα ήταν οδυνηρό γι' αυτόν. Μιλάμε τώρα για μια διαφορετική εποχή, όπου υπήρχε κάποια απειλή».
Ολο αυτό τον καιρό στο εξωτερικό δεν σας ήρθε ποτέ η διάθεση να επιστρέψετε πίσω στην Ελλάδα, να δουλέψετε, να κάνετε κάτι εδώ;
«Στα 21 μου, όταν γύρισα για ένα μικρό διάστημα στην Ελλάδα, ήταν μια τέτοια εποχή. Μόλις είχα τελειώσει τις σπουδές μου. Για την ακρίβεια, ένα χρόνο μετά. Αμέσως μόλις τελείωσα το διδακτορικό πήγα για ένα χρόνο στην Καλιφόρνια και ύστερα ήρθα εδώ. Αλλά αν θυμάμαι καλά επειδή είπαμε ότι όλα είναι υπό το πρίσμα του παρόντος ήταν μια εποχή αντίδρασης προς την προηγούμενη, κατά την οποία ήμουν πλήρως αφοσιωμένος στη μελέτη. Για μένα η Αμερική τότε ήταν ο παράδεισος, όλος αυτός ο μαγικός κόσμος που ως μικρό παιδί στην Ελλάδα τον έβλεπα μόνο στα έργα. Στη συνέχεια όμως αντέδρασα, γιατί κάποια στιγμή ανακάλυψα την Ελλάδα. Διάβαζα έλληνες συγγραφείς Καζαντζάκη, Ομηρο , άκουγα νεοελληνική μουσική... Ολα αυτά έκαναν πολύ μεγάλη τη νοσταλγία. Ηταν τόσο μεγάλος ο πόθος μου να γυρίσω στην Ελλάδα τότε, ώστε δεν αξιολόγησα σωστά το γεγονός ότι η επιστροφή μου θα συνέβαινε κατά την περίοδο της δικτατορίας. Ηταν μια ατυχής συγκυρία για μένα. Με την επιστροφή μου στην Ελλάδα αντιλήφθηκα αμέσως τη δραματικότητα της κατάστασης, που κορυφώθηκε στο Πολυτεχνείο... Ξανάφυγα και επανήλθα πια με τη μεταπολίτευση, για να κάνω το στρατιωτικό μου, το οποίο δεν το είχα κάνει ακόμη. Πάντως η τότε σύζυγός μου που ήταν Αμερικανίδα με απομάκρυνε από την Ελλάδα για αρκετά χρόνια ή μάλλον, για την ακρίβεια, απομακρύνθηκα και μόνο όταν είχα πλέον ωριμάσει είδα τα πράγματα με άλλη ματιά. Γιατί όταν είναι κανείς νέος τα βλέπει όλα ρόδινα και πάει με μεγάλη ευκολία από τη μία άποψη στην τελείως αντίθετη. Στην πορεία αρχίζεις και μπαίνεις στο βάθος των πραγμάτων. Σήμερα βλέπω τα πράγματα πολύ διαφορετικά. Εχω αρχίσει, ας πούμε, ξανά την επαφή μου με την Ελλάδα. Πολύ μεγάλο μέρος του χρόνου το περνάω εδώ».
Θα μπορούσατε να συνεχίσετε την έρευνά σας ζώντας εδώ;
«Μα ένα μεγάλο μέρος της έρευνάς μου το κάνω ήδη εδώ».
Να σας το πω διαφορετικά. Τι παίζει μεγαλύτερο ρόλο σε αυτό που κάνετε; Το χώμα όπου θα σπείρετε ή το πόσο καλός είναι ο σπόρος, οπότε να ανθίσει όπου και αν τον σπείρετε;
«Κοιτάξτε, τώρα πια είμαι πλέον δημιουργημένος. Δηλαδή αυτή τη στιγμή μπορώ να δουλέψω εξίσου καλά τόσο εδώ όσο και στην Αμερική. Απλώς χρειάζεται σε ορισμένα χρονικά διαστήματα να επιστρέφω, να ανακοινώνω, να κάνω κάποια επαφή με τους άλλους συναδέλφους. Πλέον όμως αυτά τα διαστήματα μπορούν να είναι το ένα τέταρτο του χρόνου μιας χρονιάς. Τα υπόλοιπα τρία τέταρτα μπορώ να βρίσκομαι εδώ. Δεν υπάρχει πρόβλημα. Ηδη πέντε μήνες τον χρόνο είμαι εδώ και επτά μήνες στην Αμερική. Αλλά κάποιος ο οποίος ξεκινάει τώρα είναι μία άλλη περίπτωση, εντελώς διαφορετική. Τότε, ναι, παίζει μεγάλο ρόλο το περιβάλλον το χώμα, όπως λέτε και εσείς και οι άνθρωποι που θα βρεθούν γύρω του. Ο σπόρος θέλει καλό χώμα. Αν εγώ είχα μείνει εδώ, όσο καλός και αν ήταν ο σπόρος μου, δεν θα άνθιζε, γιατί δεν υπήρχε και ούτε υπάρχει χώμα κατάλληλο... Το περιβάλλον είναι καθοριστικό όταν πρωτορίχνουμε τον σπόρο...».
Μελλοντικά θα μπορούσατε εσείς να δημιουργήσετε ένα καλύτερο χώμα στην Ελλάδα για να πιάνουν σπόροι καλοί και να μην πρέπει να αναζητήσουν αλλού την τύχη τους;
«Νομίζω ότι μελλοντικά σε κάποια φάση θα μπορούσα να κάνω κάτι εδώ. Το βλέπω καθαρά ότι θα μπορούσα κάτι να κάνω. Οχι στα πλαίσια του Πανεπιστημίου ή της Ακαδημίας. Σε κάτι τελείως διαφορετικό, το οποίο θα μπορούσε να είναι ένα Ινστιτούτο στη μορφή του Ινστιτούτου Προκεχωρημένων Σπουδών του Πρίνστον. Είναι κάτι το οποίο το ξέρω πολύ καλά, έχω ιδίαν πείρα. Δεν εννοώ βέβαια ότι το φαντάζομαι στο μέγεθος του Ινστιτούτου του Πρίνστον, μιλάμε για πολύ μικρότερη κλίμακα».
Και τι ακριβώς θα σήμαινε αυτό;
«Θα σήμαινε ένα Ινστιτούτο Μαθηματικών, το οποίο θα είχε μικρό αριθμό από μόνιμα μέλη, το καθένα σε έναν καίριο κλάδο των μαθηματικών, αλλά θα ήταν ανοιχτό και προς τις εφαρμογές. Παράλληλα το φαντάζομαι να έχει μη μόνιμες θέσεις και να φιλοξενεί πολύ εξέχοντες επιστήμονες από το εξωτερικό προσωπικά νομίζω ότι ξέρω περισσότερους από τους μισούς. Γιατί τους έχω δει κατά καιρούς, έχω μιλήσει μαζί τους σε συνέδρια, με τους περισσότερους είμαστε φίλοι. Ηδη στο Πρίνστον, εκτός από αυτούς που ανέφερα, είναι και ο φίλος μου ο Τζον Νας, ο οποίος θα έρθει και στην Ελλάδα. Στην απονομή του βραβείου που μου έδωσαν καθόταν δίπλα μου, γιατί δόθηκε και σε αυτόν ένα βραβείο, το βραβείο Steele, το οποίο απονέμεται κάθε χρόνο για κάτι που είχε ξεχαστεί. Αυτός έπρεπε οπωσδήποτε να έχει πάρει το Βôcher, αλλά δεν το πήρε, γιατί όταν ήταν να το πάρει είπαν: "Εχει αυτός καιρό". Το ίδιο και για το μετάλλιο Φιλντ: "Εχει καιρό, θα το πάρει λίγο πιο αργά". Μετά όμως έπαθε τη σχιζοφρένεια και για πολλά χρόνια έμεινε άρρωστος. Την αναγνώριση την πήρε μόνο τα τελευταία χρόνια, όταν ο άνθρωπος ξαναβρήκε τα σύγκαλά του».
Πιστεύετε ότι τα λάθη είναι πηγή γνώσης για έναν άνθρωπο που ψάχνει να βρει το σωστό; Τι είναι το λάθος; Είναι φως ή σκοτάδι;
«Υπάρχουν λάθη και λάθη. Υπάρχουν λάθη που διορθώνονται εύκολα, αλλά φαντάζομαι ότι εσείς εννοείτε αυτά που μας κρατάνε καθηλωμένους για πολύ καιρό. Αυτά, που είναι και τα πιο ουσιαστικά, πιστεύω ότι οφείλονται σε ένα μπλοκάρισμα του μυαλού (mental block). Είναι αυτά που μας υποδεικνύουν ότι πρέπει να αλλάξουμε τρόπο σκέψεως, διότι αυτό είναι που μας οδηγεί στη λανθασμένη προσέγγιση ενός προβλήματος. Ο τρόπος που αντιμετωπίζουμε το πρόβλημα, μην μπορώντας προφανώς να δούμε κάποια σημαντική πτυχή του. Ξέρετε, αν πάρουμε λάθος δρόμο, συχνά χάνουμε και την επαφή μας με το φως...».
Τι είναι αυτό που κάνει τη μεγάλη διαφορά μεταξύ του κοινού επιστήμονα και του μεγάλου επιστήμονα;
«Νομίζω ότι οι μεγάλοι επιστήμονες συνδυάζουν τη διόραση και την απόδειξη βήμα βήμα της λύσης ενός προβλήματος. Ο Αρχιμήδης, ας πούμε, τα έχει και τα δύο, ο Νεύτων τα έχει και τα δύο. Ο Αϊνστάιν έχει μόνο το ένα τη διόραση, όχι την απόδειξη , οπότε είναι λιγότερο σημαντικός. Ο Γκάους, πάλι, μου φαίνεται ότι έχει μόνο την απόδειξη. Οι περισσότεροι θα έλεγαν ότι ο Οϊλερ, σαν τον Αϊνστάιν, έχει μόνο τη διόραση. Εγώ θα έλεγα ότι έχει και κάτι παραπάνω, αλλά σίγουρα μια τέτοια άποψη δεν θα ήταν η επικρατούσα. Οι κορυφαίοι πάντως είναι σίγουρα ο Νεύτων και ο Αρχιμήδης, επειδή διέθεταν και τα δύο αυτά χαρακτηριστικά που προανέφερα».
Εσείς νιώθετε το μυαλό σας να διαφέρει από το μυαλό των δύο αυτών κορυφαίων επιστημόνων;
«Αυτοί κινούνται πλέον σε επίπεδα θεϊκά, είναι έξω από τα ανθρώπινα μέτρα. Και όμως ο Νεύτων είχε πει: "Δεν ξέρω τι εικόνα δείχνω στον κόσμο, εμένα μου φαίνεται ότι ποτέ δεν ήμουν τίποτε άλλο από ένα μικρό παιδί στην ακροθαλασσιά που κάθε τόσο έβρισκε ένα βότσαλο και πετώντας το στον μεγάλο ωκεανό της αλήθειας ανακάλυπτε κάτι σπουδαίο».
Οταν κάποιος σαν εσάς βρεθεί μπροστά στην ανακάλυψη αυτών των μεγάλων λύσεων, αποκτά άλλη αντίληψη για τον Θεό;
«Εμείς οι μαθηματικοί μπορούμε να δούμε μόνο μία άποψη του Θεού, αυτή μέσω των μαθηματικών. Ισως οι φιλόσοφοι να βλέπουν και τις δύο πλευρές του Θεού, αλλά δεν τις βλέπουν τόσο καλά όσο βλέπουμε εμείς τη μία. Εμείς βλέπουμε καλύτερα τη μία και οι ποιητές πολύ καλά την άλλη. Οι φιλόσοφοι υποτίθεται ότι τις βλέπουν και τις δύο, αλλά μάλλον πιο αμυδρά».
Μπορείτε να μου πείτε ποια πλευρά του Θεού βλέπετε εσείς;
«Για μένα ο Θεός είναι ο μουσικοσυνθέτης του Σύμπαντος... Αυτή η μεγάλη συμφωνία αποτελεί έκφραση μιας τέλειας αρμονίας. Σας είπα όμως ότι μπορώ να διαβάσω και τον Ομηρο και να αρχίσω να κλαίω τέτοια συγκίνηση με πιάνει από τη θέα της άλλης πλευράς του Θεού. Η μία όψη του Θεού κατοικεί στην αρχαία τραγωδία, στον Σαίξπηρ. Οχι ότι έχω κάποιο ιδιαίτερο ταλέντο για να καταλάβω αυτό που λέω διαβάζοντας Ευριπίδη ή Σαίξπηρ· απλώς το εισπράττω όπως όλοι οι άλλοι κοινοί άνθρωποι. Αποφεύγω βέβαια σε μεγάλες δόσης αυτή την πλευρά του Θεού, γιατί όπως σας είπα με βγάζει από τον δρόμο μου... Τα μαθηματικά είναι η ζωή μου, εκεί όπου έχω ταλέντο, και προσπαθώ να συναντιέμαι με αυτή την πλευρά του Θεού. Μέσω των μαθηματικών, όπου έχω κάποια ιδιαιτερότητα σε σχέση με τον μέσο άνθρωπο, αυτό που μπορώ να κάνω είναι προσεγγίζω αυτή την αρμονία που αντιπροσωπεύει την ύπαρξη του Θεού».
Η στιγμή που συλλαμβάνετε τη λύση ενός προβλήματος είναι μια στιγμή επικοινωνίας με τον Θεό;
«Οπωσδήποτε, διότι είναι ασφαλώς μια ενόραση. Θυμάμαι πολλές τέτοιες στιγμές. Μια τέτοια στιγμή συνάντησής μου με τον Θεό είναι όταν ανακάλυψα "το αναλλοίωτο στο άπειρο"! Σκέφτηκα πώς είναι δυνατόν κάτι τόσο αφηρημένο, κάτι το οποίο ανήκει εντελώς στον κόσμο των ιδεών, να είναι άμεσα συνδεδεμένο με κάτι που είναι μπροστά στα μάτια μου; Αυτές όμως οι ανακαλύψεις μπροστά στις ανακαλύψεις των μεγάλων δεν είναι τίποτε».
Αρα ο Νεύτωνας και ο Αρχιμήδης είχαν συνεχή επικοινωνία με τον Θεό, έτσι;
«Οπωσδήποτε. Εγώ νομίζω ότι υπάρχει μόνο η θεία χάρις, η οποία σου αποκαλύπτει κάτι. Κανείς δεν ανακάλυψε κάτι που να μην υπήρχε. Φευγαλέα ίσως βλέπεις περισσότερα πράγματα. Στην προσπάθεια όμως να τα κάνεις συγκεκριμένα, πολλά σου ξεφεύγουν και μένεις τελικά με λιγότερα».
Ποιον θεωρείτε σημαντικότερο; Τον Χόκινγκ ή τον Πενρόουζ;
«Τον Πενρόουζ».
Τότε γιατί είναι περισσότερο διάσημος ο Χόκινγκ;
«Διάσημος σε ποιους; Εχει σημασία πού και γιατί είσαι διάσημος... Η επιστημονική κοινότητα το ξέρει ότι ο Πενρόουζ, που είναι σήμερα 69 ετών, είναι ο πλέον σημαντικός στον τομέα του... Ο Χόκινγκ νομίζω ότι είναι διάσημος στον πολύ κόσμο που δεν ξέρει ή δεν μπορεί να ανακαλύψει το βάρος της επιστημονικής εργασίας του... Είναι τόσο διάσημος όχι για το έργο του όσο επειδή έχει αυτό το πρόβλημα της αναπηρίας».
Η εμμονή είναι καλός αγωγός που οδηγεί στη λύση;
«Η εμμονή σε κάνει να χτυπάς το κεφάλι σου στον τοίχο. Σου αποδεικνύει δηλαδή ολοένα και περισσότερο ότι υπάρχει ο τοίχος. (γέλια) Σου ενισχύει τη βεβαιότητα ότι εδώ υπάρχει δυσκολία πρόσβασης. Είναι όμως αναγκαία προϋπόθεση η εμμονή και η συγκέντρωση στην εμμονή, για να υπάρξει η επίλυση. Η διόραση μπορεί να συμβεί όταν είναι κανείς σ' αυτή τη κατάσταση πλέον. Και τότε εμφανίζεται αβίαστα εντελώς κάτι σαν θεία χάρις. Είναι σαν να σου λέει ο Θεός από ψηλά: "Αντε δες κι εσύ κάτι παραπάνω, γιατί αρκετά παιδεύτηκες για να δεις"... Αυτά. Νομίζω ότι αρκετά είπαμε». (γέλια)
Σας ευχαριστώ...
«Κι εγώ».
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΧΡΙΣΤΟΔΟΥΛΟΥ
*Ο Δημήτρης Χριστοδούλου γεννήθηκε στην Αθήνα το 1953. * Ηταν ακόμη μαθητής της Β' Λυκείου όταν οι «μαθηματικές» ανησυχίες του τον οδήγησαν στο Πανεπιστήμιο του Πρίνστον στις ΗΠΑ. Το 1970, σε ηλικία μόλις 18 χρόνων, θα πάρει μάστερ φυσικής. * Πολύ σύντομα θα έρθει και το διδακτορικό στον ίδιο κλάδο, το οποίο θα αποτελέσει το εφαλτήριο μιας λαμπρής πορείας. * Το 1971 ο Δημήτρης Χριστοδούλου γίνεται υπότροφος ερευνητής στο Τεχνολογικό Ινστιτούτο της Καλιφόρνιας και ένα χρόνο αργότερα καθηγητής στο Πανεπιστήμιο Αθηνών και επισκέπτης ερευνητής στο CERN της Γενεύης. * Το 1974 αποκτά τη θέση τού επισκέπτη ερευνητή και στο Διεθνές Κέντρο Θεωρητικής Φυσικής στην Τεργέστη, καθώς επίσης και στο Ινστιτούτο Max Planck του Μονάχου. * Η επιστημονική σταδιοδρομία του συνεχίζεται στο περιώνυμο Μαθηματικό Ινστιτούτο Courant, του Πανεπιστημίου της Νέας Υόρκης, όπου παίρνει τη θέση του έκτακτου μέλους. * Επειτα από σημαντική εργασία και σε άλλα πανεπιστήμια θα επιστρέψει το 1988 στο Ινστιτούτο Courant, αυτή τη φορά στη θέση του τακτικού καθηγητή. * Από τότε τα επιτεύγματα του Δημήτρη Χριστοδούλου στη θεωρία των μερικών διαφορικών εξισώσεων, της διαφορικής γεωμετρίας, της θεωρίας της γενικής σχετικότητας, των εξισώσεων του Αϊνστάιν, καθώς και της μηχανικής των στερεών έχουν υπάρξει ρηξικέλευθα. * Το 1992 εξελέγη τακτικός καθηγητής στο Μαθηματικό Τμήμα του Πανεπιστημίου του Πρίνστον και τον Ιούνιο του 1993 τιμήθηκε με το βραβείο MacArthur βραβείο που απονέμεται ετησίως σε διεθνείς προσωπικότητες των επιστημών και των τεχνών που προτίμησαν να παραμείνουν εκτός «επιστημονικού» κατεστημένου.
Τα 3 Άλυτα Μαθηματικά Προβλήματα Της Αρχαιότητας
Απριλίου 11, 2010 στις 11:05 πμ (Γενικά περί μαθηματικών, Ιστορία Μαθηματικών)
Όταν οι αρχαίοι Έλληνες ήθελαν να λύσουν ένα πρόβλημα προσπαθούσαν αρχικά να το λύσουν κάνοντας χρήση των πιο απλών καμπυλών, των κύκλων και των ευθειών δηλαδή χρησιμοποιώντας μόνο κανόνα και διαβήτη. Όταν λοιπόν δεν μπορούσαν να λύσουν κάποιο πρόβλημα με αυτές της συνθήκες τότε το θεωρούσαν άλυτο και προσπαθούσαν να το λύσουν κάνοντας χρήση άλλων πιο πολύπλοκων καμπυλών. Έτσι τα “3 Άλυτα Μαθηματικά Προβλήματα Της Αρχαιότητας” δεν μπορούν να λυθούν με κανόνα και διαβήτη άλλα υπάρχουν αρκετές λύσεις αιτών με άλλες καμπύλες.Το δήλιο πρόβλημα ή ο διπλασιασμός του κύβου απασχόλησε τους αρχαίους Έλληνες γεωμέτρες και η αναζήτηση λύσεων, οδήγησε σε μια έντονη ανάπτυξη της Γεωμετρίας.
Το δήλιο πρόβλημα απόκτησε δημοσιότητα όταν το ανέφερε, σε μια τραγωδία o βασιλιάς της Κρήτης Μίνως διαμαρτυρόμενος γιατί το κενοτάφιο, που προοριζόταν για το γυιό του Γλαύκο, ήταν πολύ μικρό για βασιλικό μνημείο και απαιτούσε το διπλασιασμό του όγκου του χωρίς να αλλάξει το κυβικό του σχήμα. Πανελλήνια γνωστό όμως έγινε το πρόβλημα αυτό όταν αναφέρθηκε από το μαντείο του Δήλιου Απόλλωνα, όταν δηλαδή ρωτήθηκε το μαντείο, τι πρέπει να κάνουν για να απαλλαγούν από το λοιμό που μάστιζε το νησί Δήλο, απάντησε ότι τούτο θα συμβεί αν διπλασιάσουν τον κυβικό βωμό του Απόλλωνα. Έτσι το πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου πέρασε στην ιστορία με το όνομα “Δήλιο πρόβλημα”.
Οι λύσεις που δόθηκαν στο πρόβλημα, κατά την ελληνική αρχαιότητα, σώθηκαν και φθάσανε σε μάς από τον σχολιαστή των έργων του Αρχιμήδη Ευτόκιο (6 αι. μ.χ). Αυτός σχολιάζοντας ανάλογο πρόβλημα του Αρχιμήδη και τη μέθοδο που αυτός χρησιμοποίησε για να το λύσει, δίνει όλες τις λύσεις παρεμβολής που του ήταν τότε γνωστές από παλαιότερες συγγραφές. Οι λύσεις που δίνει είναι 12 και η αρχαιότερη είναι του Αρχύτα. Οι κυριότερες από τις γνωστές λύσεις προέρχονται από τους :
- Ο Ιπποκράτης ο Χίος (470-400 π.χ)
- Ο Αρχύτας ο Ταραντίνος (428-365 π.χ)
- Ο Πλάτων (427-347 π.χ)
- Ο Μέναιχμος (375- π.χ)
- Ο Αρχιμήδης (287-212 π.χ)
- Ο Ερατοσθένης (276-194 π.χ)
- Ο Απολλώνιος (265-170 π.χ)
- Ο Νικομήδης (έζησε γύρω στο 200 π.χ)
- Ο Ήρων ο Αλεξανδρινός (1ος -2ος αι. μ.χ)
- Ο Διοκλής (1ος αι. π.χ)
- Ο Πάππος ο Αλεξανδρινός (3ος αι. μ.χ)
Σήμερα δεν γνωρίζουμε κάτω από ποιες συνθήκες τέθηκε το πρόβλημα της τριχοτόμησης γωνίας στην ελληνική αρχαιότητα. Ξέρουμε όμως ότι αποτελούσε το ένα από τα τρία μεγάλα προβλήματα μετά το Δήλιο και τον τετραγωνισμό του κύκλου. Ουσιαστικά το πρόβλημα έγκειται στην τριχοτόμηση οξείας γωνίας, διότι αν είναι αμβλεία αφαιρούμε απο αυτήν την ορθή που μπορεί να τριχοτομηθεί με χάρακα και διαβήτη. Η τριχοτόμηση όμως μιάς οξείας γωνίας είναι αδύνατο να πραγματοποιηθεί μόνο με χάρακα και διαβήτη γιατί η εξίσωση που την εκφράζει είναι τρίτου βαθμού χωρίς να μπορεί να αναχθεί σε δευτέρου. Πράγματι από τη τριγωνομετρία μας είναι γνωστή η σχέση
στην οποία αν θέσουμε εφ3θ=α και εφθ=x και κάνουμε τις πράξεις θα φθάσουμε στη x3-3αx2-3x+α=0 που είναι η εξίσωση της τριχοτόμησης. Η κατασκευή με χάρακα και διαβήτη των ριζών αυτής της εξίσωσης είναι δυνατή μόνο αν μπορεί αυτή να αναλυθεί σε δύο παράγοντες, ένα πρωτοβάθμιο και ένα δευτεροβάθμιο, όμως αυτό αποδείχθηκε μόλις το 1837, ότι είναι αδύνατο.Οι αρχαίοι Έλληνες γεωμέτρες όταν οι προσπάθειές τους με το χάρακα και το διαβήτη δεν απέδωσαν, στράφηκαν σε άλλες καμπύλες εκτός του κύκλου και σε άλλες μεθόδους. Το πρώτο αποτέλεσμα αυτής της προσπάθειας ήταν η επινόηση από τον Ιππία τον Ηλείο της πρώτης καμπύλης στην ελληνική Γεωμετρία, μετά την περιφέρεια, της τετραγωνίζουσας, με τη βοήθεια της οποίας έδωσε και τη πρώτη λύση του προβλήματος.
Οι γνωστότεροι αρχαίοι γεωμέτρες που ασχοληθήκανε με το πρόβλημα της τριχοτόμησης της γωνίας ειναι :
- Ο Ιππίας ο Ηλείος (περίπου 430 π.χ)
- Ο Αρχιμήδης (287-212 π.χ)
- Ο Νικομήδης (περίπου 200 π.χ)
- Ο Πάππος ο Αλεξανδρινός (3ος αι. μ.χ)
Η μέτρηση του εμβαδού του περικλειομένου από κάποιο σχήμα, ήταν σε όλους τους λαούς, από την εποχή που ακόμη η γεωμετρία ήταν εμπειρικής μορφής, βασική επιδίωξη όλων των γεωμετρών. Από τη στιγμή που διαλέξανε σαν μονάδα μέτρησης των εμβαδών, το τετράγωνο με πλευρά τη μονάδα μήκους, αυτόματα τέθηκε και το πρόβλημα του τετραγωνισμού των διαφόρων σχημάτων.
Αρχικά “τετραγωνίστηκαν” δηλαδή προσδιορίστηκε το εμβαδόν τους, τα ορθογώνια, τα τρίγωνα, τα παραλληλόγραμμα και ορισμένα πολύγωνα. Μετά από αυτό ήταν φυσικό να επιδιωχθεί και ο τετραγωνισμός σχημάτων περικλειομένων από καμπύλες γραμμές και πρώτου από όλα του κύκλου. Ο τετραγωνισμός του κύκλου, το τρίτο από τα μεγάλα προβλήματα της αρχαιότητας, απασχόλησε πολλούς ερευνητές για πολλούς αιώνες και υπήρξε το μεγάλο εμπόδιο πάνω στο οποίο σκόνταψαν μεγάλα ονόματα.
Η απαίτηση του προβλήματος είναι να κατασκευαστεί τετράγωνο ισοδύναμο με δοσμένο κύκλο, αν δηλαδή είναι R η ακτίνα του κύκλου και x η ζητούμενη πλευρά του τετραγώνου, πρέπει να αληθεύει η σχέση
, όπου π ο λόγος του μήκους της περιφέρειας προς το μήκος της διαμέτρου του κύκλου. Παρόλο που εμπειρικά είχε διαπιστωθεί ότι ο λόγος π της περιφέρειας προς τη διάμετρο διατηρείται σταθερός, ωστόσο η κατασκευή αυτού του λόγου και όταν ακόμη η Γεωμετρία εφοδιασμένη με την απόδειξη είχε γίνει επιστήμη, στάθηκε αδύνατη. Υπήρξαν κατασκευές του π μεγαλοφυείς κατά τη σύλληψη όχι όμως πραγματοποιημένες σύμφωνα με την απαίτηση του “χάρακα και του διαβήτη” που έθεταν τότε. Παράλληλα έγιναν μεγαλειώδεις προσπάθειες υπολογισμού της τιμής του π, οι οποίες με πρωτεργάτη τον Αρχιμήδη, έδωσαν ένδοξα αποτελέσματα.Ο πρώτος που ασχολήθηκε με τον τετραγωνισμό του κύκλου είναι οΑναξαγόρας ο Κλαζομένιος (500-428 π.χ) δάσκαλος και φίλος του Περικλή. Στη συνέχεια ασχολήθηκαν οι Ιπποκράτης ο Χίος (470- 400 π.χ) ο σοφιστήςΑντιφών ο Αθηναίος (περί το 430 π.χ) ο επίσης σοφιστής Βρύσων ο Ηρακλειώτης σύγχρονος του Αντιφώντα. Ουσιαστική ώθηση στο πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου, δόθηκε από τον σοφιστή Ιππία τον Ηλείο (β’ μισό του 5ου αι. π.χ) και από τους Πάππο (3ος αι. μ.χ) και τον Δεινόστρατο (4ος αι. π.χ) αδελφό του Μέναιχμου.
Ο Ιάμβλιχος (250-325 μ.χ) αναφέρει ότι τον τετραγωνισμό του κύκλου κατόρθωσαν :
- O Αρχιμήδης (267-212 π.χ) με τη βοήθεια της “Έλικας”.
- Ο Νικομήδης (περίπου 200 π.χ) με την καμπύλη που ονομαζόταν “ιδίως τετραγωνίζουσα”.
- Ο Απολλώνιος (265-170 π.χ) με την καμπύλη που ονόμαζε ο ίδιος “αδελφή της κοχλοειδούς” που ήταν όμως ίδια με την καμπύλη του Νικομήδη.
- Ο Κάρπος με κάποια καμπύλη την οποία ονομάζει απλά “εκ διπλής κινήσεως προερχομένη”.
Πηγή: telemath.gr
Ο μαθηματικός που περιφρονεί τις τιμές
O ιδιόρρυθμος Ρώσος επιστήμονας, Γκριγκόρι Πέρελμαν, έλυσε έναν από τους δυσκολότερους γρίφους του 20ού αιώνα
Του Φιλιππου Χατζοπουλου
Πριν από τέσσερα χρόνια συγκλόνισε την παγκόσμια επιστημονική κοινότητα, ανακοινώνοντας ότι έλυσε έναν από τους μεγαλύτερους γρίφους των σύγχρονων Μαθηματικών, τη λεγόμενη «υπόθεση του Πουανκαρέ», ένα πρόβλημα που έμενε άλυτο από το 1904, όταν διατυπώθηκε για πρώτη φορά. Την περασμένη Τρίτη, ο Γκριγκόρι Πέρελμαν, ο ιδιόρρυθμος Ρώσος μαθηματικός με τη μακριά γενειάδα και το αφηρημένο ύφος, έλαμψε διά της απουσίας του από το διεθνές μαθηματικό συνέδριο της Μαδρίτης, όπου επρόκειτο να του απονεμηθεί η ύψιστη τιμητική διάκριση, το βραβείο Φιλντς (αντίστοιχτο των βραβείων Νομπέλ στα Μαθηματικά) για το επίτευγμά του. Ο 40χρονος επιστήμονας αδιαφορεί για την αναγνώριση και τα χρηματικά έπαθλα. Εχει δηλώσει μάλιστα ότι δεν τον ενδιαφέρει ούτε το βραβείο του ενός εκατομμυρίου δολαρίων που ενδέχεται να του απονείμει το αμερικανικό ίδρυμα Κλέι για την επίλυση του μεγάλου γρίφου -δεύτερο επίτευγμα αυτού του επιπέδου κατά τα τελευταία χρόνια, μετά την απόδειξη του περίφημου θεωρήματος του Φερμά. Το πρόβλημα είναι ότι ο Πέρελμαν δεν είναι ένας Μαθηματικός σαν τους άλλους. Οπως και οι συνάδελφοί του, λατρεύει την επιστήμη του, αλλά αδιαφορεί για τις δημόσιες σχέσεις. Αντί να δημοσιεύει επιστημονικές μελέτες σε επιθεωρήσεις Μαθηματικών, πρώτο βήμα για τη διεθνή αναγνώριση και την απόκτηση ακαδημαϊκών τίτλων και θώκων, ο Πέρελμαν προτιμά να δημοσιεύει μερικές διάσπαρτες σημειώσεις του στο Ίντερνετ. Συνηθίζει επίσης να εξαφανίζεται, χωρίς να προειδοποιεί κανέναν, καθώς όλοι οι συνάδελφοί του στο Ινστιτούτο Στεκλόφ της Αγίας Πετρούπολης ξέρουν ότι προτιμά τα ρωσικά δάση από τις συζητήσεις και τις επαφές με τους ανθρώπους.
Το Νοέμβριο του 2002, δημοσιεύει σε ιστοσελίδα του Πανεπιστημίου Κορνέλ ορισμένες ενδείξεις, που λένε ότι η Υπόθεση του Πουανκαρέ έχει αποδειχθεί. Προσφέρει ορισμένες κατευθυντήριες γραμμές, βασισμένες στο ερευνητικό έργο άλλων Μαθηματικών, αλλά η πρόζα του δεν αποτελεί σε καμιά περίπτωση απόδειξη της Υπόθεσης. Η πρώτη αυτή δημοσίευση προκαλεί, ωστόσο, σεισμό στο χώρο των Μαθηματικών.
Στις αρχές του 2003, ο Πέρελμαν δημοσιεύει δύο νέα μηνύματα (γιατί για τέτοια πρόκειται) αναφέροντας χωρίς περιστροφές ότι κατέχει τη λύση. Τα κείμενα αυτά, όμως, στερούνται και πάλι λεπτομερειών. «Ο Πέρελμαν ανήκει στην κατηγορία αυτή των Μαθηματικών, οι οποίοι δεν έχουν χρόνο για λεπτομέρειες. Τα γραπτά του περιέχουν ελάχιστους υπολογισμούς, αποδείξεις και βασικές έννοιες», εξηγεί Μαθηματικός του Πρίνστον.
Ρώσος συνάδελφός του απλουστεύει τα πράγματα: «Ο Γκριγκόρι αδιαφορεί για τα χρήματα. Ερχεται, εξηγεί αυτό που θέλει και όλα τα άλλα είναι περιττά».
7.000.000 δολάρια για δυνατούς λύτεςΤο Μάιο του 2000, το έγκριτο Ινστιτούτο Μαθηματικών Κλέι ανακοίνωσε την αθλοθέτηση επτά χρηματικών βραβείων, αξίας 1 εκατομμυρίου δολαρίων το κάθε ένα, για την επίλυση ισάριθμων μαθηματικών προβλημάτων, τα οποία ομάδα διεθνούς φήμης Μαθηματικών είχε χαρακτηρίσει ως τα δυσκολότερα και πιο σημαντικά άλυτα προβλήματα της εποχής μας. Τα προβλήματα αυτά έγιναν γνωστά ως Προβλήματα της Χιλιετίας.
Η ανακοίνωση του διαγωνισμού είχε ιστορική, όσο και επιστημονική αξία. Το 1900, ο Μαθηματικός Ντέιβιντ Χίλμπερτ είχε δώσει διάλεξη, στην οποία κατέγραψε τα είκοσι τρία σημαντικότερα άλυτα προβλήματα της εποχής, δίνοντας το έναυσμα για την πλέον παραγωγική περίοδο μαθηματικής έρευνας του 20ού αιώνα. Εναν αιώνα αργότερα, όλα τα προβλήματα του Χίλμπερτ (εκτός από ένα) είχαν επιλυθεί ή είχε αποδεχθεί ότι κάποιο χαρακτηριστικό τους καθιστούσε τη λύση τους αδύνατη. Η πρωτοβουλία του Ινστιτούτου Κλέι υπήρξε μοναδική στο είδος της, καθώς τα Προβλήματα της Χιλιετίας είναι τόσο περίπλοκα, που δεν υπάρχει η παραμικρή περίπτωση να τα καταλάβουν οι αδαείς. Ο Μαθηματικός και συγγραφέας του βιβλίου «The Millenium Problems», Κιθ Ντέβλιν, λέει: «Αν και υπήρξα Μαθηματικός για τριάντα χρόνια, χρειάστηκα πολύ προσπάθεια, για πολλές εβδομάδες και συζητήσεις με ειδικούς, ώστε να μπορέσω να γράψω τα σχετικά κεφάλαια του βιβλίου μου. Ομολογώ ότι δεν θα αποτολμούσα ποτέ να λύσω τα προβλήματα αυτά».
Υπόθεση του ΠουανκαρέΤο πρόβλημα που διατύπωσε το 1904 ο Γάλλος επιστήμονας Ανρί Πουανκαρέ αφορά την Τοπολογία, ένα κλάδο των Μαθηματικών που δεν ενδιαφέρεται για το ακριβές σχήμα των στερεών σωμάτων (σφαίρα, κύβος, πυραμίδα κ.λπ.), αλλά για τα ποιοτικά χαρακτηριστικά τους, π.χ. αν είναι συμπαγή ή αν έχουν τρύπες. Οι εφαρμογές αυτού του σχετικά νέου κλάδου των Μαθηματικών είναι εξαιρετικά σημαντικές σε τομείς όπως τα δίκτυα υπολογιστών και συγκοινωνιών, όπου δεν μας ενδιαφέρουν τα ακριβή σχήματα, αλλά οι «κόμβοι» και οι διασυνδέσεις (σκεφθείτε, για παράδειγμα, το λειτουργικό διάγραμμα του μετρό, που δεν απεικονίζει ακριβώς τη γεωγραφία της πόλης, αλλά μας επιτρέπει εύκολα να βρούμε τον δρόμο μας).
Σε χοντρικές γραμμές, η υπόθεση Πουανκαρέ καθορίζει ποια στερεά σώματα (ή «πολλαπλότητες» σε αφηρημένους μαθηματικούς χώρους άνω των τριών διαστάσεων) είναι ισοδύναμα, από τοπολογική άποψη με μια σφαίρα και ποια όχι. Π.χ., ένας κύβος από πλαστελίνη είναι ισοδύναμος με σφαίρα, αφού μπορούμε να τον «πλάσουμε» σε στυλ σφαίρας, ενώ ένα ντόνατ δεν είναι, γιατί έχει τρύπα στη μέση.
Φαντασθείτε ότι έχετε ένα λάστιχο, ένα μήλο και ένα ντόνατ με τρύπα στη μέση. Αν τραβήξετε το λάστιχο και το τοποθετήσετε περιμετρικά γύρω από το μήλο, θα μπορείτε να μετακινήσετε το λάστιχο από τον «ισημερινό» στον «πόλο» του μήλου, χωρίς να σκίσετε το λάστιχο και χωρίς να εγκαταλείψετε την επιφάνεια του μήλου. Αν, όμως, το λάστιχο τοποθετηθεί πάνω στην επιφάνεια του ντόνατ, τότε δεν υπάρχει τρόπος να μετακινήσουμε το λάστιχο σε όλη την επιφάνεια του ντόνατ, χωρίς να σκίσουμε ή το ένα ή το άλλο. Ο Πουανκαρέ υπέθεσε ότι κάτι ανάλογο συμβαίνει και στον τετραδιάστατο χώρο, ενώ σύγχρονοι μαθηματικοί απέδειξαν ότι κάτι τέτοιο συμβαίνει και σε χώρο περισσότερων των τεσσάρων διαστάσεων. Αγνωστο παρέμενε, όμως, μέχρι την εμφάνιση του Πέρελμαν στη σκηνή, εάν η αρχική Υπόθεση του Πουενκαρέ ισχύει. Αν η απόδειξη του Ρώσου μαθηματικού στέκει, τότε αυτό θα έχει σημαντικές πρακτικές εφαρμογές στον τομέα του σχεδιασμού και της κατασκευής ηλεκτρονικών κυκλωμάτων, αλλά και συγκοινωνιακών δικτύων.
O Πουανκαρέ χαρακτηρίσθηκε ως «ο τελευταίος αναγεννησιακός άνθρωπος», ένας μαθηματικός που αισθανόταν άνετα σε κάθε τομέα των Μαθηματικών, όπως την ανάλυση, την άλγεβρα, την τοπολογία, την αστρονομία και τη θεωρητική φυσική. Ο Γάλλος μαθηματικός ήταν μεγάλος οραματιστής και πρώτος εξέφρασε τη βασική αρχή της Θεωρίας του Χάους, ότι δηλαδή «μικρές διαφορές στις αρχικές συνθήκες προκαλούν μεγάλες διαφορές στο τελικό αποτέλεσμα».
Πρόβλημα P v. NPΟι επιστήμονες των ηλεκτρονικών υπολογιστών αναγνώρισαν δύο είδη προβλημάτων, που μπορεί να επιλύσει ένας υπολογιστής. Προβλήματα τύπου Ρ μπορούν να επιλυθούν «αποτελεσματικά», δηλαδή να δώσουν λύση έπειτα από «λογικό» αριθμό αριθμητικών πράξεων. Προβλήματα τύπου Ε, αντίθετα, απαιτούν υπολογιστική ισχύ, που ξεπερνάει σε πολυπλοκότητα τον συνολικό αριθμό ατόμων στο Σύμπαν.
Υπάρχει, όμως, και τρίτο είδος προβλήματος, τύπου ΝΡ, που συμπεριλαμβάνει τις περισσότερες περίπλοκες ασκήσεις που η βιομηχανία και ο εμπορικός τομέας θα ήθελαν να επιλύουν οι υπολογιστές. Ασκηση τύπου ΝΡ μπορεί να επιλυθεί αποτελεσματικά από υπολογιστή, εφόσον σε κρίσιμα σημεία του υπολογισμού, το μηχάνημα λαμβάνει έτοιμη την απάντηση, αντί να εργαστεί για να φθάσει σε αυτή. Το ζήτημα είναι βέβαια θεωρητικό, καθώς παραμένει το ζήτημα από πού θα εξασφαλίσει ο υπολογιστής την απάντηση.
Αν ένας υπολογιστής είχε την ικανότητα αυτή, το εύρος των προβλημάτων που μπορεί να αναλάβει θα αυξανόταν άραγε σημαντικά; Η προφανής απάντηση είναι, ναι. Ισως, όμως, και όχι. Ισως όλες οι ασκήσεις τύπου ΝΡ είναι στην πραγματικότητα ασκήσεις τύπου Ρ. Ισως δηλαδή η αποτελεσματικότητα στην επίλυση προβλημάτων που θα ακολουθούσε την τροφοδότηση του μηχανήματος με έτοιμες απαντήσεις να είναι εφικτή, χάρη σε έξυπνο προγραμματισμό του υπολογιστή.
Αντικείμενο του προβλήματος P v. NP είναι να προσδιορίσει εάν αυτό ισχύει. Εάν αυτό αποδειχθεί, τότε οι πρακτικές εφαρμογές σε βιομηχανία, εμπόριο, αλλά και στην ασφάλεια του Ιντερνετ θα είναι σημαντικές.
Υπόθεση του ΧοτζΠρόκειται για ένα από τα σημαντικότερα άλυτα μαθηματικά προβλήματα της αλγεβρικής γεωμετρίας. Κατά τη διάρκεια του 20ού αιώνα, πολλοί μαθηματικοί ανακάλυψαν καλές μεθόδους έρευνας περίπλοκων αντικειμένων. Η βασική ιδέα αφορά το ερώτημα, σε ποιο βαθμό μπορούμε να πλησιάσουμε τη μορφή ενός δεδομένου αντικειμένου, κολλώντας μεταξύ τους απλά γεωμετρικά δομικά στοιχεία, αυξανόμενου μεγέθους.
Η τεχνική αυτή αποδείχθηκε τόσο χρήσιμη, που γενικεύθηκε με πολλούς διαφορετικούς τρόπους, οδηγώντας τελικά στη δημιουργία πανίσχυρων εργαλείων, που επέτρεψαν στους μαθηματικούς να πραγματοποιήσουν άλματα στην ταξινόμηση της ποικιλίας αντικειμένων, που συναντούσαν στις έρευνές τους. Δυστυχώς, η γεωμετρική προέλευση της μεθόδου χάθηκε μέσα στην περιπλοκότητα του ορισμού της. Υπό μία έννοια, κατέστη αναγκαίο να προστεθούν τμήματα που στερούνταν γεωμετρικής ερμηνείας. Η υπόθεση του Χοτζ έρχεται να βάλει τάξη σε αυτό το χάος, δημιουργώντας μια γέφυρα μεταξύ αλγεβρικών δομών και της γεωμετρίας τους. Προέκυψε ως αποτέλεσμα του ερευνητικού έργου του μαθηματικού Χ. Ντ. Χοτζ μεταξύ 1930 και 1940.
Εξίσωση Νέιβιερ - ΣτόουκςΚύματα ακολουθούν τη βάρκα μας, καθώς κινούμαστε στην επιφάνεια μιας λίμνης, ενώ κύματα αέρος ακολουθούν τα σύγχρονα αεροσκάφη, καθώς αυτά πετούν στον αέρα. Μαθηματικοί και φυσικοί πιστεύουν ότι μπορεί να βρεθεί εξήγηση και να προβλεφθεί η συμπεριφορά των κυμάτων αυτών, μέσα από την κατανόηση της λύσης της Εξίσωσης Νέιβιερ - Στόουκς.
Αν και οι εξισώσεις αυτές καταγράφηκαν τον 19ο αιώνα, ακόμη και σήμερα αδυνατούμε να τις κατανοήσουμε. Οι μαθηματικοί καλούνται σήμερα να εκπονήσουν μαθηματική θεωρία, η οποία θα ξεκλειδώσει τα μυστικά που κρύβει η Εξίσωση Νέιβιερ - Στόουκς.
Θεωρία Γιανγκ - ΜιλςΟι νόμοι της κβαντικής Φυσικής είναι για τον κόσμο των στοιχειωδών σωματιδίων ό,τι και οι Νόμοι του Νεύτωνα για τον γύρω μας κόσμο.
Σχεδόν πριν από πενήντα χρόνια, οι μαθηματικοί Γιανγκ και Μιλς εισήγαγαν εντυπωσιακό νέο πλαίσιο, για την περιγραφή των στοιχειωδών σωματιδίων, χρησιμοποιώντας δομές που συναντιούνται και στη Γεωμετρία. Η Κβαντική Θεωρία Γιανγκ - Μιλς αποτελεί σήμερα τη βάση σχεδόν όλων των θεωριών στοιχειωδών σωματιδίων, ενώ οι προβλέψεις της έχουν τύχει πειραματικής μελέτης σε πολλά εργαστήρια. Η μαθηματική της βάση παραμένει, όμως, ασαφής. Η επιτυχημένη χρήση της θεωρίας Γιανγκ - Μιλς για την περιγραφή των ισχυρών αλληλεπιδράσεων στοιχειωδών σωματιδίων εξαρτάται από μιαν ανεπαίσθητη κβαντική μηχανική ιδιότητα, που ονομάζουμε «χάσμα μάζας»: τα κβαντικά σωματίδια έχουν θετική μάζα, παρότι τα κλασικά κύματα μετακινούνται με την ταχύτητα του φωτός. Η ιδιότητα αυτή ανακαλύφθηκε πειραματικά από φυσικούς και επιβεβαιώθηκε με τη βοήθεια προσομοιώσεων σε ηλεκτρονικούς υπολογιστές, χωρίς ωστόσο να έχει εκφρασθεί θεωρητικά.
Η πρόοδος στην επιβεβαίωση της θεωρίας Γιανγκ - Μιλς θα απαιτήσει, όμως, την υιοθέτηση θεμελιωδών νέων ιδεών στη Φυσική και τα Μαθηματικά.
Υπόθεση του ΡίμανΤο 1859, ο Μπέρνχαρτ Ράιμαν παρουσίασε την υπόθεση, που είναι η μόνη που απομένει αναπόδεικτη από τον κατάλογο του Χίλμπερτ. Η υπόθεση αφορά την αλληλουχία των πρώτων αριθμών μεταξύ των θετικών ακέραιων. Πρώτος είναι κάθε θετικός αριθμός, εκτός του 1, ο οποίος δεν διαρείται παρά μόνο από τον εαυτό του και το 1.
Οι πρώτοι δέκα πρώτοι αριθμοί είναι οι 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 και 29. Οι πρώτοι αριθμοί είναι άπειροι, αλλά η συχνότητά τους μειώνεται όσο επεκτείνεται η σειρά θετικών ακεραίων προς το άπειρο. Από τους οκτώ αρχικούς θετικούς ακέραιους αριθμούς, οι μισοί είναι πρώτοι, αλλά από τους αρχικούς εκατό, μόλις το ένα τέταρτο είναι πρώτοι, ενώ από τους αρχικούς ένα εκατομμύριο θετικούς ακέραιους, μόλις ο ένας στους δέκα τρεις είναι πρώτος.
Αυτό δημιουργεί το ερώτημα εάν μπορούμε να εξαγάγουμε κάποιο αξιόλογο συμπέρασμα για τον ακριβή τρόπο, με τον οποίο το ποσοστό αυτό μειώνεται σταδιακά. Το αρχικό πρότυπο της ακολουθίας πρώτων αριθμών και όσα γνωρίζουμε για τα μετέπειτα πρότυπα δεν είναι, όμως, ενθαρρυντικά. Τα διαστήματα μεταξύ των αρχικών δέκα πρώτων, για παράδειγμα, είναι 1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4 και 6, μία ακολουθία που δεν μοιάζει να έχει εμφανή περιοδικότητα.
Ασχετα από το πόσο μακριά φθάνουμε στην αλληλουχία θετικών ακεραίων, ανακαλύπτουμε ομάδες πολλών πρώτων, συγκεντρωμένες κοντά η μία στην άλλη, καθώς και διαστήματα, όσο μεγάλα θέλει κανείς, στα οποία δεν συναντούμε κανέναν πρώτο αριθμό.
Οι μαθηματικοί, όμως, πέτυχαν να κατανοήσουν -εν μέρει- τον τρόπο με τον οποίο το ποσοστό των πρώτων αριθμών μειώνεται. Αν και η κατανόηση αυτή προήλθε από άλλο κλάδο των Μαθηματικών, που μοιάζει εντελώς άσχετος με τη θεωρία των θετικών ακεραίων, καθώς ασχολείται με τη διαρκή διακύμανση ενός μεγέθους σε σχέση με ένα άλλο. Παρ’ όλα αυτά, η απόδειξη της Υπόθεσης του Ρίμαν, εάν και εφόσον επιτευχθεί, θα μπορούσε και αυτή να έχει σημαντικές πρακτικές εφαρμογές στη Φυσική και την τεχνολογία των επικοινωνιών.
Υπόθεση Μπερτς και Σουίνερτον - ΝτάιερΟι μαθηματικοί ανέκαθεν ενδιαφέρονταν για το πρόβλημα της ανακάλυψης ακέραιων λύσεων για εξισώσεις του τύπου x2+y2=z2.
Ο Ευκλείδης έδωσε την πλήρη λύση στην εξίσωση αυτή, αλλά για περισσότερο περίπλοκες εξισώσεις, αυτό καθίσταται πολύ δύσκολο. Πράγματι, το 1970, ο Ματιγιάσεβιτς έδειξε ότι το δέκατο πρόβλημα στον κατάλογο του Χίλμπερτ είναι άλυτο, δεν υπάρχει δηλαδή γενική μέθοδος επιβεβαίωσης, ότι τέτοιες εξισώσεις έχουν λύσεις σε πλήρεις αριθμούς. Αλλά σε ορισμένες ειδικές περιπτώσεις, μπορεί να έχουμε καλύτερη τύχη.
Η Υπόθεση Μπερτς και Σουίνερτον - Ντάιερ αφορά τις λύσεις ορισμένων τέτοιων, ειδικών περιπτώσεων.
Όταν ο Φερμά είχε κέφια!!!!!
Ο Πιέρ ντε Φερμά (1601-1665) υπήρξε εμβληματική φυσιογνωμία των μαθηματικών του 17ου αιώνα .Ερασιτέχνης μαθηματικός , δικηγόρος στο επάγγελμα ,πρωτοπόρος στην θεωρία πιθανοτήτων και στον απειροστικό λογισμό. Έγινε θρύλος όταν σημειώνοντας στο περιθώριο μιας σελίδας των «Αριθμητικών» του Διόφαντου έγραφε :
«Είναι αδύνατο να υπάρξουν τρεις θετικοί ακέραιοι x, y, z για κάθε ν >3 τέτοιοι ώστε να ισχύει xn + yn = zn», συμπληρώνοντας ,« έχω βρει μια πραγματικά θαυμάσια απόδειξη , όμως το περιθώριο της σελίδας είναι πολύ μικρό για να την χωρέσει.» Ε λοιπόν το θεώρημα αυτό αντιστάθηκε στους μαθηματικούς για περισσότερα από 350 χρόνια, ασχολήθηκαν μαζί του ανεπιτυχώς εκατοντάδες μαθηματικοί μερικοί μάλιστα τεράστιου διαμετρήματος όπως ο Γκάους, μέχρι που το επικήρυξαν ΄ ώσπου το 1995 ένας Αμερικανός μαθηματικός ο Άντριου Γουαιλς παρουσίασε την απόδειξη. Αυτά τα ξέρει όμως όλος ο κόσμος. Αυτό που δεν είναι πολύ γνωστό και είναι απορίας άξιο είναι το γεγονός ότι ο Φερμά κατόρθωσε ένα ακόμα άθλο για τον όποιο ακόμα οι ιστορικοί των μαθηματικών αναρωτιούνται πως τα κατάφερε.
Ο αβάς Μερσεν σε μια επιστολή του στον στον Φερμά ρωτούσε: ποιος είναι ο λόγος του γινομένου 230 Χ 38Χ 55Χ11 Χ132 Χ19 Χ312 Χ43 Χ61 Χ83 Χ223 Χ331 Χ379 Χ601 Χ757 Χ1201 Χ7019 Χ823.543 Χ616.318.177 Χ100.895.598.169 προς το άθροισμα των διαιρετών του. Ο Φερμά του απάντησε ότι ήταν 1 προς 6, και για την ακρίβεια , παρατήρησε ότι οι πρώτοι διαιρέτες του τελευταίου όρου του γινόμενου 100.895.598.169 ήταν δυο πρώτοι αριθμοί ο 112.303 και 898.423.Το μυστήριο είναι πως ο Φερμά κατόρθωσε να απαντήσει σε ένα τέτοιο ερώτημα όταν εμπλέκονται τόσο μεγάλοι αριθμοί , χωρίς την χρήση υπολογιστή.
Διόφαντος ο Αλεξανδρεύς, Πιερ ντε Φερμά, Αντριου Ουάιλς: οι τρεις πρωταγωνιστές της μεγαλύτερης περιπέτειας στην ιστορία των θετικών επιστημών. Ο πρώτος συνέγραψε γύρω στο 300 μ.Χ. τα «Αριθμητικά», ένα έργο για τη θεωρία των αριθμών, που περιέχει περισσότερα από 100 μαθηματικά προβλήματα. Ο δεύτερος εμπνεύστηκε από ένα από αυτά, φτάνοντας σε μια επαναστατική για τα μαθηματικά μορφή παραλλαγής του περίφημου θεμελιώδους Πυθαγόρειου Θεωρήματος, την οποία σημείωσε το 1637 στο περιθώριο της γαλλικής έκδοσης των «Αριθμητικών»: «Είναι αδύνατον μία κυβική δύναμη να γραφεί ως άθροισμα δύο κυβικών δυνάμεων ή μία τέταρτη δύναμη να γραφεί ως άθροισμα δύο τετάρτων δυνάμεων και γενικά οποιαδήποτε δύναμη μεγαλύτερη του τετραγώνου είναι αδύνατον να γραφεί ως άθροισμα ίδιων δυνάμεων». Και γιατί είναι αδύνατον; Αντί αποδείξεως αυτής της φαινομενικά απλής διατύπωσης, ο Φερμά συνεχίζει με μια προκλητικά αινιγματική φράση: «Εχω μια πραγματικά υπέροχη απόδειξη αυτής της πρότασης, που όμως δεν χωρά σ' ένα τόσο στενό περιθώριο». Ετσι δημιούργησε, χωρίς να το φαντάζεται, ένα θρύλο, που μάλλον καταχρηστικά ονομάστηκε «θεώρημα» αφού καθώς έλειπε η απόδειξη έπρεπε μάλλον να ονομαστεί «εικασία». Ο Αντριου Ουάιλς, ο τρίτος από τους πρωταγωνιστές, 358 χρόνια αργότερα, και μετά την αποτυχία πολλών δεκάδων από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς της ιστορίας που πάλεψαν με το Θεώρημα όλα αυτά τα χρόνια, κατάφερε μόλις το 1995 να δημοσιεύσει στο «Annals of Mathematics» την πλήρη απόδειξη, τη λύση αυτού του στοιχειωμένου Θεωρήματος, που κάλλιστα θα μπορούσε να αποκαλείται και «η κατάρα του Φερμά», πραγματοποιώντας έτσι τον μεγαλύτερο μαθηματικό άθλο του 20ού αιώνα. Η απόδειξή του, σύμφωνα με τον Τζον Κόουτς, «με μαθηματικούς όρους είναι το ισοδύναμο της διάσπασης του ατόμου ή της εύρεσης της δομής του DNA».
Συνεπώς το Θεώρημα του Φερμά δεν είναι ένα οποιοδήποτε πρόβλημα των μαθηματικών. Και η λύση του δεν ήταν απλώς έργο μιας άλλης μαθηματικής ιδιοφυΐας. Είναι ένα από τα μεγαλύτερα μυστήρια της θετικής σκέψης και η λύση του ήταν ως την τελευταία στιγμή ένα από τα πιο συναρπαστικά θρίλερ που δημιούργησε η ανθρώπινη σκέψη ίσως επειδή ήταν η σκέψη δεκάδων κορυφαίων μαθηματικών εγκεφάλων στη διάρκεια αιώνων: ο Euler, o Dirichlet, o Legendre, o Gauss, η Sophie Germain, o Abel, o Kummer ήταν μερικές μόνο από τις μαθηματικές ιδιοφυΐες που παρά τις προσπάθειές τους δεν κατάφεραν να λύσουν το Θεώρημα. Αλλά δεν ήταν μόνο οι πιο άξιοι που ασχολήθηκαν με το πρόβλημα. Το 1908 το γερμανικό βραβείο Wolfskehl αφιέρωσε στη λύση του Θεωρήματος το ποσό των 100.000 μάρκων. Μέσα σε ένα έτος υποβλήθηκαν 621 «λύσεις», όλες λανθασμένες. Ετσι, για ευκολία, ο καθηγητής Landau, υπεύθυνος για το βραβείο, τύπωσε ειδικές απαντητικές κάρτες προς όσους έστελναν «λύσεις» που έγραφαν τα εξής: «Αγαπητέ, σας ευχαριστούμε για το χειρόγραφό σας πάνω στην απόδειξη του τελευταίου Θεωρήματος του Φερμά. Το πρώτο λάθος είναι στη σελίδα... γραμμή... Αυτό καθιστά την απόδειξη άκυρη».
Σήμερα θεωρείται αμφίβολο αν ο Φερμά διέθετε, όπως ισχυρίστηκε, την απόδειξη γι' αυτή την πρότασή του, στην οποία δεν αναφέρθηκε ποτέ ξανά στην υπόλοιπη ζωή του, γεγονός που ενισχύει την εντύπωση ότι δεν πρέπει να ήταν και πολύ βέβαιος γι' αυτήν. Αλλωστε αυτή απαιτούσε πολύ πιο ανεπτυγμένα μαθηματικά από όσα ήταν διαθέσιμα στα χρόνια του. Οι προσπάθειες για την επίλυσή του κράτησαν ως το 1994, όταν ο καθηγητής Ουάιλς, ο οποίος είχε λύσει το Θεώρημα ένα χρόνο ενωρίτερα, πέτυχε να διορθώσει και το τελευταίο κενό που διέφευγε από την απόδειξή του η οποία είχε παρουσιαστεί σε διάλεξή του στο Κέιμπριτζ τον Ιούνιο του 1993, αφήνοντας άναυδη την παγκόσμια μαθηματική κοινότητα και περνώντας στις πρώτες σελίδες μερικών από τις μεγαλύτερες εφημερίδες του κόσμου. Η ανακάλυψη του λάθους όμως σόκαρε περισσότερο και από την ίδια την ανακοίνωση της απόδειξης. Με αυτήν ξεκίνησε μια ιλιγγιώδης περιπέτεια που στο αίσιο τέλος της απέδειξε ότι ο Ουάιλς δεν είναι μόνο μια κορυφαία μαθηματική διάνοια, αλλά έχει και εξαιρετικά γερά νεύρα.
Με όλα αυτά ασχολούνται τα δύο βιβλία, του Aczel και του Singh. Με μια κλιμάκωση που αγγίζει, αν δεν ξεπερνά κάποιες στιγμές, τα όρια του αστυνομικού μυθιστορήματος, ο Aczel ουσιαστικά γράφει μια «εναλλακτική» ιστορία των μαθηματικών, καθώς η διήγησή του δεν μένει μόνο στα μετά τον Φερμά. Αντίθετα, σε αυτήν εμπλέκονται και οι προγενέστεροί του αρχαίοι έλληνες και άραβες μαθηματικοί που το έργο τους επηρέασε καταλυτικά και τη διατύπωση αλλά και την προσπάθεια επίλυσης του Θεωρήματος. Ετσι, μια ιστορία των προσπαθειών για τη λύση του Θεωρήματος του Φερμά είναι εκ των πραγμάτων και μια ιστορία των μαθηματικών, αφού αρκετοί και σημαντικοί κλάδοι τους προέκυψαν ακριβώς από την προσπάθεια κάποιων ιδιοφυών συναδέλφων του να το λύσουν. Και αυτό είναι ένα μέτρο της σημασίας του. Είναι ακόμη μια έστω και αποσπασματική ιστορία του τρόπου με τον οποίο οι μαθηματικοί και η επιστήμη τους αφομοιώθηκαν στο ευρωπαϊκό πνευματικό περιβάλλον ερχόμενοι σε σύγκρουση με τη θεολογία και τη φιλοσοφία. Μια ιστορία τού ποιες, συχνά απίθανες, δυσκολίες αντιμετώπισαν, από τι είδους αστάθμητους, κάποτε παντελώς άσχετους με τα μαθηματικά, παράγοντες εξαρτήθηκε η τύχη υποθέσεων και αποδείξεων που άλλαξαν την ιστορία των μαθηματικών, με ό,τι αυτό συνεπάγεται. Αλλωστε είναι εξαιρετικά εντυπωσιακό να παρακολουθήσει κανείς τη διαδρομή αυτών των επιτευγμάτων, που ξεκίνησαν ως απόπειρες λύσης του Θεωρήματος του Φερμά για να καταλήξουν, μέσα από μαθηματικές διατυπώσεις, σε πασίγνωστες εφαρμογές τις οποίες συναντάμε κάθε ώρα μπροστά μας σε δεκάδες εκφράσεις της ανθρώπινης δραστηριότητας.
Πέρα όμως από αυτόν τον «πρακτικό» ρόλο του, το Θεώρημα του Φερμά είναι και ένα καθαρό μαθηματικό πρόβλημα. Μια εντυπωσιακή πλευρά του βιβλίου του Singh, που συνιστά και μιαν ειδοποιό διαφορά από το βιβλίο του Aczel, αποτελεί η εντονότερη επικέντρωσή του τόσο στο πρόσωπο και στην εργασία του Ουάιλς όσο και στην «ψυχραιμότερη», πιο ουδέτερη αφήγηση της ιστορίας της προσπάθειας επίλυσης του προβλήματος. Πάντως και τα δύο βιβλία βοηθούν με μεγάλη τέχνη τον αμύητο στα μαθηματικά αναγνώστη να καταλάβει και την κλιμάκωση της λύσης αλλά και τη σημασία του Θεωρήματος. Και μέσα από αυτή να ζήσει, έστω και για λίγο, τη μαγνητική γοητεία της επιστήμης των αριθμών, το πλήρες σχεδόν εύρος της οποίας ήταν ανάγκη να ενοποιηθεί για να λυθεί το Θεώρημα. Κι εδώ είναι που εντοπίζεται η μεγαλύτερη προσφορά του Ουάιλς: στο ότι πέτυχε να δημιουργήσει τις γέφυρες ανάμεσα σε μαθηματικούς που εργαζόμενοι σε φαινομενικά εντελώς άσχετα μεταξύ τους πεδία στην ουσία εργάζονταν χωρίς και οι ίδιοι να το γνωρίζουν για τη λύση του Θεωρήματος. Με τη λύση αυτή ο Ουάιλς συμβάλλει τα μέγιστα σε μια ενοποίηση των μαθηματικών, ικανή να ανοίξει νέους, άγνωστους ως σήμερα δρόμους στην επιστήμη. Είναι πάντως εξαιρετικά ενδιαφέρουσα η σύγκριση δύο σχεδόν ταυτόχρονων βιβλίων, που ακολουθώντας τη δεδομένη πραγματικότητα αναγκάζονται να έχουν την ίδια περίπου δομή αλλά παρουσιάζουν και σοβαρές διαφορές.
Υπάρχει όμως ένα κενό σε όλα αυτά: Αλήθεια, πώς πρέπει να ήταν ένας τέτοιος άνθρωπος, του οποίου λίγες λέξεις μπέρδεψαν περισσότερο από 300 χρόνια μαθηματικής επιστήμης, που για χάρη του θεσπίστηκαν μεγάλα έπαθλα από ακαδημίες σε όλη την Ευρώπη, που δημιουργήθηκαν σύλλογοι και που καταστράφηκαν καριέρες; Πώς πρέπει να έμοιαζε αυτός ο ερασιτέχνης μαθηματικός που, αν και περνούσε τις περισσότερες ώρες της ημέρας στο νομικό γραφείο του (καθώς αυτό ήταν το επάγγελμά του) ανάμεσα στις υποθέσεις του και στα καθήκοντα του βασιλικού συμβούλου στο τοπικό κοινοβούλιο της Τουλούζ, ανέπτυξε πριν από τον Νεύτωνα τις βασικές έννοιες του απειροστικού λογισμού; Ο Aczel αφιερώνει λίγες αρκετά παραστατικές σελίδες στην παρουσίαση αυτού του μυστηριώδους, μοναδικού ανθρώπου, ενώ ο Singh, αν και σχετικά γενναιόδωρος με την παρουσίαση του Φερμά, ασχολείται κυρίως με τον Ουάιλς, η σχέση του οποίου με το πρόβλημα ξεκινά από τότε που παιδί 10 χρόνων, στο Κέιμπριτζ, ανακαλύπτει σε μια δημόσια βιβλιοθήκη ένα βιβλίο με διάσημους γρίφους, στο οποίο το Θεώρημα του Φερμά έχει περίοπτη θέση. «Ηταν το παιδικό μου πάθος» λέει ο Ουάιλς. Και πράγματι ολόκληρη η ζωή του περιστράφηκε γύρω από αυτό, ώσπου τα τελευταία χρόνια, προτού φτάσει στη λύση, κυριολεκτικά εξαφανίστηκε από τις συνήθεις διεθνείς επιστημονικές δραστηριότητες, σε σημείο που πολλοί συνάδελφοί του πίστεψαν ότι το ταλέντο του είχε πια στερέψει, κάτι που δεν είναι σπάνιο στον κόσμο των μαθηματικών.
Ωσπου λοιπόν να βρεθεί κάποιος ο οποίος θα ασχοληθεί με την «ανακάλυψη» και του ίδιου του Φερμά, ο αναγνώστης αυτών των βιβλίων διαβάζοντάς τα θα έχει περάσει πια για καλά το κατώφλι ενός μαγικού κόσμου.
Εν τω μεταξύ ο Ουάιλς προσπαθεί να συνεχίσει «τη ζωή μετά τον Φερμά», χωρίς να έχει αποκαλύψει ακόμη ποιο είναι το νέο αντικείμενο έρευνάς του, αν και δύσκολα θα μπορούσε να βρεθεί κάτι πιο εντυπωσιακό. Ο θρύλος του Θεωρήματος είναι τόσο ισχυρός που, όπως λέει ο ίδιος, «οι άνθρωποι μου λένε ότι τους στέρησα το πρόβλημά τους και με ρωτούν αν μπορώ να τους το αντικαταστήσω. Υπάρχει μια αίσθηση μελαγχολίας».
JOHN NASH: Iδιοφυής μαθηματικός, σχιζοφρενής άνθρωπος...
Στα 19 του απέδειξε το θεώρημα του Brauer, μια απόδειξη που όλοι οι μαθηματικές ιδιοφυϊες της εποχής θεωρούσαν αδύνατη. Στα 21 του συμπλήρωσε την «Θεωρία των παιγνίων» του John Von Neumann, μία εργασία για την οποία τιμήθηκε με βραβείο Nobel το 1994. Στα 22 του ήταν καθηγητής στο Princeton και 23 χρονών δίδασκε στο MIT. Kάθε μαθηματική εργασία του άφηνε τους μαθηματικούς όλου του κόσμου με ανοιχτό το στόμα: «Όποτε παρουσίαζε κάποια εργασία», θυμάται ο καθηγητής του MIT Gian-Carlo Rota, «πάντα κάποιος από το ακροατήριο θα έλεγε "απίστευτο!"...» Στα 30 του o John Forbes Nash Jr. κυκλοφορούσε με τους «New York Times» υπό μάλης και εκμυστηρευόταν σε γνωστούς και αγνώστους πως ανάμεσα στα τυπογραφικά στοιχεία εξωγήινοι του έγραφαν κωδικοποιημένα μηνύματα για να τα διαβάσει μόνο αυτός. Tο 1959 μια από τις μεγαλύτερες μαθηματικές ιδιοφυϊες του αιώνα, άρχισε ταχύτατα να γλιστρά στην σχιζοφρένεια. O ίδιος περιέγραψε την ασθένειά του σε μια μελέτη που έκανε για την δέκατη παγκόσμια σύνοδο Ψυχιατρικής το 1996:
«... άρχισα να αισθάνομαι πως το προσωπικό του MIT, και αργότερα ολόκληρη η Βοστόνη συμπεριφερόταν περίεργα απέναντί μου... Αρχισα να βλέπω κρυπτοκομμουνιστές παντού... Αρχισα να πιστεύω πως είμαι σημαντική θρησκευτική προσωπικότητα και άκουγα φωνές συνεχώς. Αρχισα να ακούω κάτι σαν τηλεφωνήματα, από ανθρώπους που αντιτίθεντο στις ιδέες μου... Tο delirium ήταν σαν ένα όνειρο από το οποίο έμοιαζε πως δεν θα ξυπνήσω ποτέ...»
H εκπληκτική ιστορία του μαθηματικού Nash, η ασθένειά του και η αναπάντεχη θεραπεία του, περιγράφεται σε μια βιογραφία του που έγραψε η Sylvia Nasar. To βιβλίο θα κυκλοφορήσει στις 7 Σεπτεμβρίου στην Bρετανία με τον τίτλο «A Beautiful Mind» (εκδόσεις Faber).
H ιστορία του ξεκίνησε από μια μικρή πόλη της Δυτικής Bιρτζίνια, από μια μεσοαστική οικογένεια. O John Nash, όπως θυμάται η δασκάλα του, ήταν ένα ξεχωριστό παιδί, αλλά όχι μαθητής του άριστα. Διάβαζε ακατάπαυστα, έπαιζε σκάκι, μπορούσε να σφυρίζει ολόκληρες συμφωνίες του Μπαχ, αλλά το κυριότερο: έψαχνε διαρκώς νέους τρόπους να προσεγγίζει τα πράγματα. Στο πανεπιστήμιο άρχισε να φαίνεται η ιδιοφυϊα του. Mια μέρα πλησίασε τον καθηγητή του R. J. Duffin, δείχνοντας του ένα πρόβλημα που πίστευε ότι έλυσε. O καθηγητής έκπληκτος διαπίστωσε πως ο νεαρός φοιτητής είχε αποδείξει, χωρίς να ξέρει, το διάσημο θεώρημα του Brower. H συστατική επιστολή του καθηγητή προς το Princeton είχε μόνο μία αράδα: «Aυτός ο άνθρωπος είναι ιδιοφυϊα».
Tο Princeton εκείνη την εποχή φιλοξενούσε τα μεγαλύτερα μυαλά της επιστήμης: Einstein, Gödel, Wiener, von Neumann κ.ά. O τελευταίος ήταν ο πατέρας της «Θεωρίας των Παιγνίων», μιας θεωρίας που προσπαθούσε να βγάλει μαθηματικούς κανόνες από τα παίγνια στρατηγικής. O Neumann όμως περιορίστηκε μόνο σε αντιτιθέμενους παίχτες που το κέρδος του ενός ήταν απώλεια του άλλου. H διατριβή του Nash επικεντρώθηκε σε παίκτες που υπήρχε η δυνατότητα του αμοιβαίου συμφέροντος. «O Nash έκανε την θεωρία των παιγνίων οικονομικό εργαλείο», δήλωσε αργότερα ο Nομπελίστας οικονομολόγος του MIT Robert Solow.
Mετά από αυτό ο νεαρός μαθηματικός ασχολήθηκε με πολλά προβλήματα των προκεχωρημένων μαθηματικών, που θεωρούνταν άλυτα Πάντα πρόσφερε μια αναπάντεχη λύση ανοίγοντας νέους δρόμους στην μαθηματική έρευνα.
Eίχε οκτώ παραγωγικά κι ευτυχισμένα χρόνια. Ήταν περιζήτητος από τα μεγαλύτερα πανεπιστήμια των HΠA ενώ περιοδικά σαν το «Fortune» τον χαρακτήριζαν ως την μεγαλύτερη ιδιοφυϊα της μεταπολεμικής εποχής.
Tο δράμα του ξεκίνησε το 1959, ενώ ήδη είχε παντρευτεί και η γυναίκα του περίμενε το πρώτο παιδί. Oι διαλέξεις του άρχισαν να γίνονται παραληρηματικές χωρίς κανένα νόημα. Oι εργασίες του σταμάτησαν. Mπαίνει στην ψυχιατρική κλινική του Harvard σε ηλικία 30 χρονών. Oι γιατροί σηκώνουν τα χέρια: διαγιγνώσκουν σχιζοφρένεια, μία ασθένεια που κανείς δεν ξέρει από που προέρχεται και δεν έχει θεραπεία. Παραιτείται από το MIT και ξοδεύει τον χρόνο του μεταξύ ψυχιατρικών κλινικών και του Princeton. Eκεί τριγυρίζει σαν φάντασμα. «Όλοι στο Princeton τον ήξεραν εξ όψεως», θυμάται ο Daniel D. Feenberg, φοιτητής την δεκαετία του 1970 στο ίδιο πανεπιστήμιο. « Tα ρούχα του ήταν παράταιρα. Έμοιαζε άδειος. Πήγαινε να διαβάσει στην βιβλιοθήκη ή περπατούσε ανάμεσα στα κτίρια. Ήταν συνήθως σιωπηλός...»
Eνώ ο ίδιος ζούσε στον κόσμο του, ο κόσμος των οικονομικών και μαθηματικών επιστημών περιστρεφόταν γύρω από τις θεωρίες του. Σε κάθε πανεπιστημιακό αμφιθέατρο αναφερόταν «η ισορροπία Nash», «η διαπραγματευτική λύση Nash», «το πρόγραμμα Nash» κ.λ.π. Πολλοί πίστευαν πως είναι νεκρός. Όσοι ήξεραν τον δράμα του προσπαθούσαν να τον βοηθήσουν. H γυναίκα του (αν και είχαν χωρίσει από καιρό) στεκόταν πάντα στο πλευρό του. Tο Princeton του είχε δώσει την άδεια να χρησιμοποιεί την βιβλιοθήκη και τους υπολογιστές του Iνστιτούτου. Συνάδελφοί του τον καλούσαν σε σεμινάρια. Όλα όμως έμοιαζαν μάταια! O Nash εμφανιζόταν κάθε πρωί στο Πανεπιστήμιο, αλλά ζούσε στον κόσμο του. Tις λίγες φορές που μιλούσε ήταν να ζητιανέψει κανένα τσιγάρο ή μερικά ψιλά...
Tο 1989 όμως έγινε το θαύμα. O Freeman Dyson, ένας από τους γίγαντες της θεωρητικής φυσικής του 20ου αιώνα, έβλεπε το Nash κάθε πρωί στο Iνστιτούτο. Tου έλεγε μια τυπική καλημέρα, αλλά ποτέ δεν έπαιρνε απάντηση. Ένα πρωί αναπάντεχα ο Nash μίλησε: «Eίδα την κόρη σου σήμερα πάλι στις ειδήσεις» (H Esther Dyson είναι συγγραφέας και θεωρητικός του κυβερνοχώρου). O μεγάλος φυσικός, που ποτέ δεν είχε ακούσει την φωνή του Nash, θυμάται: «Δεν φανταζόμουν καν πως ήξερε την ύπαρξή της κόρης μου. Θυμάμαι πως έμεινα κατάπληκτος. Tο ξύπνημά του ήταν θαυμάσιο!»
Tο 1990 αρχίζει να ανταλλάσσει μηνύματα μέσω ηλεκτρονικού ταχυδρομείου με τον μαθηματικό Enrico Bombieri. Προς έκπληξη όλων, ο Nash ασχολείται πάλι με τα μαθηματικά! Kαταπιάνεται με τα δύσκολα προβλήματα και κατά τον Bombieri «παρουσίαζε λύσεις που πάντα ήταν από διαφορετική γωνία».
O Nash λέει για την ασθένειά του:
«...Tώρα μοιάζει να σκέφτομαι λογικά και πάλι με την μορφή που είναι χαρακτηριστική στους επιστήμονες. Όμως αυτό δεν χαροποιεί, όπως θα χαροποιούσε κάποιον που βρήκε την φυσική του υγεία. Mια πλευρά αυτού είναι ότι η λογικότητα της σκέψης βάζει όρια στην σχέση του ανθρώπου με τον Kόσμο ...»
«...Δεν θα τολμούσα να πω πως υπάρχει ευθεία σχέση μεταξύ μαθηματικών και τρέλας, αλλά δεν υπάρχει αμφιβολία ότι οι μεγάλοι μαθηματικοί υπέφεραν από μανιακά χαρακτηριστικά, ντελίρια και συμπτώματα σχιζοφρένειας...»
Σιγά - σιγά ο Nash άρχισε να συμμετέχει σε σεμινάρια μαθηματικών. Σπάνια μιλούσε, αλλά όλα έδειχναν πως είναι καλά.
Tον Oκτώβριο του 1994, στο τέλος μιας τέτοιας συνάντησης, ο μαθηματικός Harold Kuhn συναντά τον Nash. O Kuhn είναι 50 χρόνια τώρα ο καλύτερός του φίλος. Tου μιλάει αργά και προσεκτικά:
«John, το απόγευμα θα σου τηλεφωνήσουν από την Στοκχόλμη».
O Nash, όπως έκανε πάντα, κοίταζε μπροστά το πάτωμα.
«Θα σου πουν John, ότι κέρδισες το βραβείο Nόμπελ...»
Δημοσιεύτηκε στο ένθετο «New Millennium» της εφημερίδας «Tύπος της Kυριακής» στις 30.8.1998
